7.2.4. Дискретное вейвлет-преобразование

Опишем ДВП в матричном виде, а затем – на основе банков фильтров, что наиболее часто используется при обработке сигналов.

В обоих случаях предполагают, что базисные функции икомпактно определены. Это автоматически гарантирует финитность последовательностейи. Далее предположим, что сигнал, подвергаемый преобразованию, имеет длину.

Обозначим через вектор последовательность конечной длиныдля некоторого. Этот вектор преобразуется в вектор, содержащий последовательностии, каждая из которых половинной длины. Преобразование может быть записано в виде матричного умножения, где матрица- квадратная и состоит из нулей и элементов, умноженных на. В силу свойствматрицаявляется ортонормированной, и обратная ей матрица равна транспонированной. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Возьмем фильтр длиной, последовательность длиной, а в качестве начального значения -. Последовательностьполучим изпо формуле (7.16), где. Тогда операция матрично-векторного умножения будет представлена в виде:

(7.18)

Обратное преобразование тогда выполняется как умножение на обратную матрицу:

(7.19)

Таким образом, выражение (7.18) - это одна итерация (или один этап) ДВП. Полное ДВП заключается в итеративном умножении верхней половины вектора на квадратную матрицу, размер которой. Эта процедура может повторятьсяd раз, пока длина вектора не станет равна 1.

В четвертой и восьмой строках матрицы (7.18) последовательность циклически сдвинута: коэффициенты, выходящие за пределы матрицы справа, помещены в ту же строку слева.

Ранее рассматривалось субполосное преобразование, как фильтрация с последующим прореживанием в два раза. В данном случае имеется два фильтра и, т.е банк фильтров – двухполосный и может быть изображен, как показано на рис.2.2.

Фильтры F и E означают фильтрацию фильтрами и, соответственно. В нижней ветви схемы выполняется низкочастотная фильтрация. В результате получается некоторая аппроксимация сигнала, лишенная деталей низкочастотная (НЧ) субполоса. В верхней части схемы выделяется высокочастотная (ВЧ) субполоса. Отметим, что при обработке сигналов константавсегда выносится из банка фильтров и сигнал домножается на 2.

Итак, схема рис. 7.1 делит сигнал уровня на два сигнала уровня. Далее, вейвлет-преобразование получается путем рекурсивного применения данной схемы к НЧ части. При осуществлении вейвлет-преобразования изображения каждая итерация алгоритма выполняется вначале к строкам, затем – к столбцам изображения (строится так называемая пирамида Маллата).

Рис. 7.1. Схема двухполосного банка фильтров