logo
книга по комплексам Майлов

Аналитические зависимости для решения задач в анк

Современная вычислительная техника, особенно цифровая, позволяет реализовать сложные математические зависимости сфероидической геометрии и решать по ним навигационные задачи с любой необходимой степенью точности. Однако невысокая точность исходных данных (особенно при использовании курсовых приборов) позволяет для решения задач воздушной навигации считать поверхность Земли сферической и применять математический аппарат сферической тригонометрии. Этому соответствует и применение в АНК ортодромической системы координат в качестве основной. В то же время все исходные координаты точек на земной поверхности известны только в географической системе, т. е. на эллипсоиде.

В зависимости от требуемой точности замена эллипсоида шаром выполняется различными методами.

В простейшем случае Земля принимается за шар с радиусом R= 6371 км, а геосферические координатыφиλсчитаются равными географическимφгеогриλгеогр; такое упрощение приводит к максимальным ошибкам в расстояниях до 0,5% и в углах — до 0,4°.

В другом случае исходные географические координаты φгеогр иλгеогрпредварительно с помощью метода проф. В. В. Каврайского переводятся в геосферические по формулам:

а Земля считается шаром с радиусом R=a(1-c/4)=6372,9км,

где а = 6378245м — большая полуось эллипсоида Красовского,

с=(a-b)/a 1/300 — его сжатие,

b = 6356863 м — малая полуось.

Этот прием обеспечивает уменьшение максимальных ошибок до 0,08% в расстояниях и до 6' — в углах.

Наконец, пересчет географических координат в геосферические можно выполнять по тем же формулам, но радиус Земли выбрать таким, чтобы вдоль заданной ортодромии частный масштаб отображения эллипсоида на сфере был равен единице:

где φиβ— геосферическая широта и путевой угол в любой, в том числе и начальной, точке заданной ортодромии (так как вдоль ортодромии произведениеsinβcosφ=const). При этом методе достигается точность отображения расстояний до 0,001%.

Однако и сферические зависимости используются часто только для подготовки исходных данных, вводимых в АНК, а само решение навигационных задач ведется по еще более простым зависимостям—формулам прямолинейной тригонометрии. Это обеспечивает значительное упрощение аппаратуры навигационных вычислителей, сохраняя в то же время при определенных условиях вполне удовлетворительную точность результатов.

Возможность применения плоской тригонометрии в навигационных задачах зависит от величин рассматриваемых расстояний, которые лишь в отдельных случаях достигают нескольких тысяч километров (при счислении координат над океаном между коррекциями и при использовании систем дальней радионавигации). При применении же БРЛС, большей части УНС и УДНС ближней навигации расстояния не превосходят 400—500 км.

Представление о степени искажения результатов расчетов при замене сферических треугольников плоскими дает теорема Лежандра, согласно которой углы плоского треугольника со сторонами, равными сторонам сферического, будут уменьшены на 1/3 сферического избытка («эксцесса») данного сферического треугольника:

где SΔ— площадь сферического или, приближенно, плоского треугольника,aR— радиус земного шара. Например, при рассмотрении правильного треугольника со сторонамиD— 500 км

а при сторонах D = 1000 км — ΔА = 12'.

В основе счисления координат по формулам прямолинейной тригонометрии лежит использование упрощенной ортодромической системы координат с таким выбором главной ортодромии (оси Оу), чтобы ЛЗП на всех этапах проходила с возможно меньшими отклонениями от нее. В этих условиях точные («сферические») формулы счисления ортодромических координат при использовании ортодромического датчика курса принимают вид:

где βу— текущий условный путевой угол,βку— условный «угол карты» (заданный путевой угол главной ортодромии).

Применение в АНК упрощенных формул для счисления координат приводит к методическим ошибкам тем большим, чем больше фактические значения координаты хотличаются от нуля, т. е. при полете по маршрутам, не совпадающим с главной ортодромией. Нетрудно заметить, что при полете по ортодромическим меридианам, т. е. перпендикулярно главной ортодромии (βу — βку = 90°), методическая ошибка отсутствует (так какcos(βy — βку) = 0); наибольшей она будет при полетах с направлениями, близкими к главной ортодромии, но на некотором удалении от нее, когда уголβу — βкублизок к нулю. Известны расчеты, на основании которых можно показать, что неучет сферичности Земли в полете по ЛЗП, параллельной в начальной точке главной ортодромии, приводит к относительным радиальным ошибкам счисления МС, определяемым выражением

где S— пройденный путь,х0— начальное удаление от главной ортодромии, выраженное в радианах (долях радиуса Земли). Например, приS= 500 км = 0,079 рад и х0 = 200 км — 0,031 рад относительная ошибка МСr/S = 0,0013, а прих0= 100 км —r/S = 0,0006.

Однако в условиях полетов гражданской авиации для конкретного заданного маршрута всегда можно выбрать такое положение главной ортодромии, чтобы полет все время проходил вблизи нее, т. е. при малых значениях х, и тем самым практически исключить ошибки счисления, связанные с применением упрощенных формул. Даже в случаях возникновения в полете необходимости резко изменить маршрут в сторону от главной ортодромии современные АНК обеспечивают возможность оперативного перехода на счисление в системе координат, связанной с новой главной ортодромией, т. е. в области малых значений координатых.

Другая часть вычислительных операций, выполняемых АНК, представляет собой преобразования для перевода координат самолета, определенных различными независимыми методами, в координаты основной системы данного АНК, что необходимо для сравнения их со счисленными или с программными координатами.

В зависимости от применяемых средств (систем) независимого определения МС исходные координаты выражаются в разных системах: географической, биполярной (двуазимутальной), полярной сферической, гиперболической и др. При этом возможен как непосредственный переход от исходных координат к основным, так и через координаты промежуточной системы. Например, гиперболические координаты, определяющие положение МС относительно двух баз станций, могут быть предварительно пересчитаны в географические координаты или в сферические полярные относительно ведущей станции РДНС (ρ, θ), а затем уже в основную систему АНК — ортодромическую.

Применение упрощенных аналитических зависимостей (формул прямолинейной тригонометрии) при координатных преобразованиях допустимо, как правило, только при определении МС с помощью радионавигационных средств (систем) ближнего действия (БРЛС, УДНС ближней навигации), когда опорные ориентиры, используемые при определении МС, удалены от фактического места самолета и от ЛЗП не более чем на 300—350 км. В этих случаях сферические треугольники могут решаться как плоские с такими же сторонами и углами. Возможные при этом ошибки могут быть оценены с помощью теоремы Лежандра.

Вопросы студентам:

  1. Каковы основные проблемы современной воздушной навигации. Как они решаются? Приведите примеры.

  2. Как решаются задачи в АНК? В чем сущность метода непосредственной коррекции и метод управления навигационным режимом, чем они отличаются?

  3. Чем обусловливаются навигационные возможности комплекса?

  4. Что такое основная система координат АНК? Какие системы координат применяются в аппаратуре, входящей в АНК? Что такое ГО и ЧО?

  5. Что такое сферическая система координат? Что делается для уменьшения ошибки представления геоида в виде сферы?

  6. По каким формулам производится счисление ортодромических координат?

  7. Как и для чего выбирается ГО? Для чего используется ЧО?