8.2 Математические критерии устойчивости

Переходные процессы в системе описываются общим решением однородного уравнения An(p) = 0 или

.

Это решение представляет собой сумму экспонент

.

Здесь – постоянные интегрирования, а – корни характеристического уравнения .

В общем случае корни являются комплексными, образуя пары сопряженных корней – Z _k, k+1 =  _k    j  _k . Каждая пара корней дает свою составляющую общего решения в виде

.

Эти функции представляют собой синусоиды с амплитудами, изменяющимися во времени по экспоненте. При этом, если  _k < 0 , то k-я составляющая будет затухать. Наоборот, при  _k > 0 получатся расходящиеся колебания. Если  _k = 0 (мнимые корни), имеем незатухающие стационарные колебания.

Таким образом, необходимым и достаточным условием сходимости переходных процессов и, следовательно, устойчивости системы является отрицательность действительной части  комплексных корней ее характеристического уравнения.

Следовательно, условием устойчивости линейной системы является расположение всех корней , которые называют полюсами передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости. Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости.

Вычисление корней просто лишь для характеристического уравнения 1-й и 2-й степени. Существуют общие выражения для корней уравнений 3-й и 4-й степени, но эти выражения громоздки и их невозможно применить для аналитического исследования влияния параметров системы на ее устойчивость.

Поэтому используются правила, которые позволяют определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости. Все они математически эквивалентны, так как решают вопрос о знаке действительной части корней характеристического уравнения. Критерии делят на алгебраические и частотные.

Наиболее известен алгебраический критерий устойчивости Рауса – Гурвица, который позволяет судить об устойчивости системы по коэффициентам многочлена

An(p) = a_n pⁿ + a_n-1 p^n-1 + ... + a₁ p + a_{0 .}

Во-первых, необходимым (но, недостаточным!) условием устойчивости является положительность всех коэффициентов a_n, ..., a₀. Если хотя бы один из коэффициентов меньше нуля, то система неустойчива и дальнейшее исследование не имеет смысла. Если a_i>0, то согласно алгебраическому критерию устойчивости Гурвица система устойчива, если все ее определители _i больше нуля.

Исследуют систему на устойчивость по критерию Гурвица следующим образом. Для коэффициентов многочлена составляют квадратную матрицу n х n, по главной диагонали которой записывают все коэффициенты от a_n-1 до a₀ и далее заполняют ее, как показано ниже. В случае отсутствия данного коэффициента и если его номер больше n или меньше нуля, на его место проставляют нуль.

На главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме a_n.

Определители Гурвица составляют так

₁ = a_{n-1 > 0;} и т.д.

Последний определитель включает всю матрицу. Но каждый последующий определитель может быть вычислен через предыдущий. Так как в устойчивой системе _n-1 > 0, то положительность последнего определителя обеспечивается, если a_{0 > 0.}

Рассмотрим критерий Гурвица для систем первых трех порядков.

1) Для n = 1 – An(p) = a₁p + a_{0 ,} и условие устойчивости инерционного звена сводится к неравенствам

a₁ > 0; a₀ > 0.

2) Для n = 2 – An(p) = a₂p² + a₁p + a₀ ,

Поэтому для звена 2-го порядка условие устойчивости имеет вид –

a₂ > 0; a₁ > 0; a₀ > 0.

Например, звено с передаточной функцией W(p) = k/(T₂²p²+T₁p+1) устойчиво, если перед всеми членами в знаменателе стоит знак плюс.

3) Если n = 3, то An (p) = a₃p³ + a₂p² + a₁p + a₀ и определитель Гурвица –

.

В этом случае условия устойчивости имеют вид –

a₃ > 0; a₂ > 0;

₃ = a₀ ₂ > 0.

Если  ₂ > 0, то a₀ > 0. Таким образом, условие устойчивости сводится к положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора  ₂.

В общем случае системы любого порядка необходимым условием устойчивости является требование положительности всех коэффициентов a_i. Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого условия. Если оно не выполняется, то отпадает необходимость в составлении и проверке остальных неравенств.

Для характеристических уравнений невысоких порядков (до 3-го) применение алгебраических критериев достаточно просто. Если же уравнение имеет высокий порядок (n > 4) или система включает звено запаздывания, то применить алгебраические критерии для исследования устойчивости систем затруднительно.

В подобных случаях используют частотные критерии (например, критерий Михайлова).