2.6.3. Критерий Михайлова

Итак, расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости несёт полную информацию об устойчивости системы. Проблема заключается в том, что сложно или невозможно решить аналитически алгебраическое уравнение n– го порядка. Поэтому разработаны методы, позволяющие по косвенным признакам судить об устойчивости, не решая характеристического уравнения. Эти методы называются критериями устойчивости. Ниже будут рассмотрены два частотных критерия: критерий Михайлова и критерий Найквиста.

Пусть s₁,s₂,…,s_n– корни характеристического уравнения системы. Из нихl корней неустойчивых а оставшиесяn-lкорней – устойчивых. Воспользовавшись теоремой Виета, представим характеристическое уравнение в виде

(2.65)

Подставляя в уравнение (2.65) вместо текущей переменной sеё значение s=jω, сформируем комплексный вектор

(2.66)

инайдем изменение фазы этого вектораϕ_Aпри изменении частоты. Но векторпредставляется в (2.66) как произведение векторов разностей, следовательно, изменение фазыϕ_A равно сумме изменений фазы этих векторов разностей. Изображение векторов разностейна комплексной плоскости (см. рис 2.24) позволяет сделать следующее заключение:

• все устойчивые вектора разностей , лежащие в левой полуплоскости, при изменении частоты ω в диапазонеповорачиваются против часовой стрелки на угол, равный 180˚,

• все неустойчивые вектора разностей , лежащие в правой полуплоскости, при изменении частоты ω в диапазонеповорачиваются по часовой стрелке на угол, равный -180˚.

Таким образом,

.

Но, частотные характеристики симметричны относительно точки ω = 0. Поэтому изменение фазы вектора, называемое действительным, определяют при изменении частоты ω в диапазоне

. (2.67)

Если система в замкнутом состоянии устойчива (l = 0), то требуемое значение изменения фазы вектораравно

. (2.68)

Поскольку анализ устойчивости системы проводится в условиях, когда неизвестны значения корней характеристического уравнения, для определения нужно построить годограф вектора, годограф Михайлова, на комплексной плоскости и по нему найти значение.

Итак,

• для того чтобы системав замкнутом состоянии былаустойчивой, необходимо, чтобы

=. (2.69)

Это означает, что годограф Михайлова в положительном направлении (против часовой стрелки) должен обойти nквадрантов, т. е. повернуться на угол, равный,

• система не является устойчивой, если

< . (2.70)

т.е. нарушена последовательность обхода квадрантов,если при ω = 0 годограф Михайлова выходит из начала координат, то система находится на апериодической границе устойчивости,

• если на некоторой частоте годограф Михайлова проходит через начало координат, то система находится на колебательной границе устойчивости.