2.6.2. Анализ устойчивости по расположению корней характеристического уравнения

В разделе 2.1 отмечалось, что характер изменения функции

g(t) =

(и её производных) зависит исключительно характера корней характеристического уравнения системы (2.17) или (2.31). Наглядное представление о характере корней и его влияния на вид функции g=g(t) даёт их расположение на комплексной плоскости. Будут рассматриваться только некратные корни поскольку в дальнейшем будет необходимо обеспечивать условия, при которых система устойчива с некотором запасом. Итак, возможны следующие варианты решения характеристического уравнения.

1. Все корниs_i < 0,i= 1, 2, …,n,вещественные и отрицательные, следовательно, все экспоненты импульсной переходной характеристикиg=g(t) – убывающие функции времени и их сумма в пределе равна нулю.

.Система асимптотически устойчивая.

2. Все корни s_i < 0 ,i= 2, 3, …,n, вещественные и отрицательные, один корень – положительныйs₁ > 0. Эта единственная экспонента с течением времени возрастает и потомуg=g(t) – возрастающая функция времени

.Система неустойчивая.

3. Все корни s_i < 0 ,i= 3, 4, …,n, вещественные и отрицательные, пара комплексно – сопряженных корней,> 0. При изучении импульсной переходной характеристики колебательного звена было показано, что комплексно – сопряженным корням с отрицательной вещественной частью (см. (2.50)) соответствует затухающий колебательный процесс (см. рис. 2.11). Следовательно (с учетом сказанного в пункте 1), функцияg=g(t) в пределе равна нулю

. Система асимптотически устойчивая.

4. Все корниs_i < 0 ,i= 3, 4, …,n, вещественные и отрицательные, пара комплексно – сопряженных корней,> 0 имеет положительную вещественную часть. Этой паре корней соответствует незатухающий колебательный процесс и, следовательно,g=g(t) – возрастающая функция времени

.Система неустойчивая.

Из всего перечисленного вытекают следующие заключения:

• Система устойчива, если все корни её характеристического уравнения имеютотрицательные вещественные части, т.е. находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости.Мнимая оськомплексной плоскостиявляется границей устойчивости.

• Система неустойчива, если хотя бы один из корней характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть.

• Система находится на апериодической границе устойчивости, если все корни её характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, а один корень вещественный и равен нулю.

• Система находится на колебательной границе устойчивости, если все корни её характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части, а пара комплексно – сопряженных корней имеет нулевую вещественную часть.