2.4.6. Колебательное звено

Передаточная функция колебательного звена имеет вид

, 0 < ξ < 1.(2.49)

k– безразмерный коэффициент усиления, равный единице (k= 1) для идеального колебательного звена,

T– постоянная времени звена, [T] = с,

ξ – коэффициент демпфирования.

Характеристическое уравнение колебательного звена и его корни

,

,. (2.50)

Итак, корни характеристического уравнения колебательного звена имеют отрицательную вещественную часть, система второго порядка, описываемая колебательным звеном устойчивая.

Многие свойства динамики переходного процесса колебательного звена переносятся на системы более высокого (третьего, четвертого) порядка. Поэтому особый интерес представляют временные характеристики колебательного звена.

• Импульсная переходная характеристика.

Согласно выражению (2.35) . Для того, чтобы воспользоваться таблицами преобразования Лапласа (см. прил. ), передаточную функцию (2.49) необходимо преобразовать. Поскольку

,

то ,

следовательно,

. (2.51)

• Переходная характеристика.

Вывод формулы для переходной характеристики будет продемонстрировано на примере применения классического метода. В соответствии с передаточной функцией (2.49) дифференциальное уравнение для переходной характеристики при (k= 1)имеет вид

,t> 0. (2.52)

Общее решение уравнения (2.52) представляется суммой общего решение однородного уравнения, характеризующего переходной процесс h_пер(t), и частного решения, определяемого выражением в правой части и характеризующего процесс в установившемся режимеh_уст(t)

+h_уст(t). (2.53)

Для определения h_уст(t) и постоянных интегрированияA иϕ можно теоремами о конечном и начальном значениях преобразования Лапласа.

. (2.54)

,

(2.55)

Дифференцируя выражение (2.53) и, используя полученные значения (2.54), (2.54), определяются формулы для постоянных интегрирования A иϕ

, . (2.56)

На рис. 2.11 приведены графические изображения временных характеристик, а на рис. 2.12 – семейство кривых для демонстрации влияния коэффициента демпфирования ξ на видпереходных характеристик колебательного звена.

Анализ этих графиков позволяет сделать следующие выводы (обоснование их будет приведено ниже при изучении показателей качества САУ):

• колебательность звена в первую очередь зависит от коэффициента демпфирования ξ. Чем он меньше, тем большей степени звено обладает колебательными свойствами;

• звено устойчиво, поскольку вещественная часть корней характеристического уравнения (2.50) отрицательна;

• коэффициентαопределяет быстродействие (время переходного процесса);

• коэффициент β– мнимая часть комплексно – сопряженных корней (2.50), является частотой колебаний временных характеристик. Период колебаний;

• момент времени первого максимума переходной характеристики равен половине периода колебаний t₁=T_кол/2.