logo
РА_конспект

3.8. Цифровая фильтрация

Цифровой фильтр — это устройство, осуществляющее преобразование одного дискретного сигнала xп в другой дискретный сигналуп, причем сами сигналыхп иуп представляют собой двоичные цифровые коды.

В общем случае выходной сигнал цифровою фильтра в момент времени t = пТ определяется значением входного сигнала в тот же момент времени, а также значениями входных и выходных сигналов в предшествующие моменты времени.

(3.24)

Если эта зависимость является линейной, то цифровой фильтр называется линейным, при этом выходная величина уп определяется выражением

(3.25)

Линейный дискретный фильтр обычно описывают с помощью передаточной функции, под которой понимают отношение Z-преобразования выходной величины кZ-преобразованию входной величины :

(3.26)

Выражение для передаточной функции можно получить из уравнения (3.25) , если обе его части подвергнуть операции Z-преобразования. Принимая во внимание, что

Получаем

(3.27)

Из выражения (27) видно, что в общем случае передаточная функция линейного цифрового фильтра представляет собой отношение двух многочленов от z.

При построении цифровых фильтров существенным является вопрос их физической реализации, т.е. вопрос о том, любая ли передаточная функция вида (3.27) может быть реализована в виде схемы, построенной из физически осуществимых элементов, либо она может быть запрограммирована для микропроцессорной реализации фильтра.

Из уравнения (2.25) видно, что для получения уп необходимо выполнить следующие операции :

1. Получение сигналов xn-1 , ... , xn-m , уn-1 , ... , у п-lЭти сигналы можно получить изxп иуп , используя элементы задержки на один период квантования (рис. 3.16,а), в качестве которых могут служить запоминающие устройства . Последовательное включение нескольких ЗУ дает возможность задержать сигнал на произвольное число периодов квантования.

При микропроцессорной реализации цифровых фильтров для получения задержанных сигналов удобно использовать стек.

  1. Умножение полученных на элементах задержки сигналов на постоян ные коэффициенты аk а bk (рис. 3.16,6).

  2. Суммирование полученных сигналов, что может быть осуществлено программным путем или на сумматорах (рис. 18.1 ,в).

Рис. 3.16. Элементы цифровых фильтров

а - задержки на период квантования; б - умножения на постоянный коэффициент; в — сложения

Очевидно, единственным ограничением физической реализации разностного уравнения (3.25) является невозможность получения какого-либо из слагаемых правой части по той причине, что соответствующее слагаемое еще не появилось и, следовательно, не может быть получено путем его запоминания с целью задержки на заданное число периодов квантования. Таким образом, цифровой фильтр может быть физически реализован, если в правую часть уравнения (3.25) входят только настоящие и прошлые значения входной величины, но не входят будущие значения.

Покажем вид передаточной функции физически неосуществимого цифрового фильтра. Для этого в правую часть уравнения (25) должно входить слагаемое вида Ахп+s , соответствующее входной величине, которая будет получена через 5 шагов квантования. Очевидно, чтоZ- преобразование величиныАх п ,5равноАХ*(z)zs . При этом передаточная функция принимает вид

(3.28)

Вкачестве нормальной формы записи передаточной функции обычно принимают форму, при которой многочлены в числителе и знаменателе содержат только отрицательные степениz . Для приведения к нормальной форме разделим числитель и знаменатель передаточной функции (28) наzs :

(3.29)

Особенностью передаточной функции (3.29) является отсутствие в знаменателе свободного члена. Это и является признаком физической нереализуемости цифрового фильтра.

При представлении передаточной функции цифрового фильтра в виде отношения многочленов, содержащих только положительные степени z , признаком физически реализуемого фильтра является выполнение условия, что степень многочлена, стоящего в числителе передаточной функции, не должна превышать степени многочлена, стоящего в ее знаменателе.

Подведем итоги.