2.6.4.1.Общий случай критерия Найквиста

Задана система с единичной отрицательной обратной связью (см. рис. 2.15) передаточной функцией в разомкнутом состоянии . Приравняв нулю полином знаменателя, получим характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянии. Пусть в общем случаеl_cкорней этого уравнения неустойчивы, аn-l_c– устойчивы. Тогда в соответствии с критерием Михайлова изменение фазы вектораC(jω) равно

.

Система в замкнутом состоянии должна быть устойчивой, следовательно, должны быть устойчивыми все корни характеристического уравнения системы в замкнутом состоянииA(s) = 0 и изменение фазы вектораA(jω) равно

.

Вводится вспомогательная переменная F(s). В соответствии с формулой (2.61), она равна отношению характеристических полиномов системы в замкнутом и разомкнутом состояниях

F(s) = 1 +W(s) = 1 +=. (2.70)

Применение критерия Михайлова позволяет определить изменение фазы вектора F(jω)

.

Таким образом,

• для того, чтобы система в замкнутом состоянии былаустойчивой, необходимо, чтобы

,

• система в замкнутом состоянии неустойчива, если

.

Пример 2.1

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии (см. рис. 2.15) имеет вид.

. (2.74)

Требуется определить, устойчива ли система в замкнутом состоянии.

Для решения этого вопроса следует применить критерий Найквиста в следующей последовательности:

1. Определить число неустойчивых корней характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии.

Приравниванием нулю знаменателя передаточной функции (2.73), получаем характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянии и его корни

C(s) =s(1 -sT);s₁= 0,s₂= 1/T.

Первый корень s₁, соответствующий интегрирующему звену, является нулевым, второй – неустойчивыйs₂ > 0.

Как отмечалось в разделе 2.4.6, нулевой корень s= 0 интегрирующего звена считают условно устойчивым. Таким образом, число неустойчивых корней системы в разомкнутом состоянииl_c = 1.

2. Найти требуемое значение вспомогательного вектораF(jω).

В соответствии с соотношением (2.71) .

3. Построить АФХ системы в разомкнутом состоянии.

Комплексный коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии согласно (2.74) имеет вид

.

В таблице 1 отражена зависимость от частоты ω значений вещественной и мнимойчастей комплексного коэффициента передачи, а на рис. 2.25 изображен график АФХ, построенный по этим данным, дополненный дугой бесконечно большого радиуса поскольку передаточная функция (2.74) содержит интегрирующее звено.

Таблица 2.1

Определение действительного значения изменения фазы вектораF(jω).

Фаза вектораF(jω), проведенного из точки (-1, 0), при изменении частоты ω от 0 до ∞ сначала уменьшается до значения, близкого -90°,а потом увеличивается до нуля. Таким образом, .

4. Заключение об устойчивости.

Поскольку в рассматриваемом случае , то согласно условию (2.73)система в замкнутом состоянии неустойчива.

Пример 2.2

На устойчивость исследуется система, передаточная функция которой отличается знаком «-».

. (2.75)

Поэтому по прежнему , но АФХ данной системы повернута на 180° по сравнению с АФХ примера 1 (см. рис. 2.26). При изменении частоты ω от 0 до ∞ векторF(jω) поворачивается по часовой стрелке на угол, равный 180°. Следовательно, и . Согласно условию (2.73)система в замкнутом состоянии неустойчива.