3.2. Понятие о дискретных функциях и разностных уравнениях

Сигналы в импульсных системах могут быть представлены в виде дискретных функций времени, т. е. функций, значения которых определены только для дискретных значений аргумента t—nT. Между этими значениями независимой переменной дискретная функция равна нулю.

Дискретную функцию можно образовать из любой непрерывной функции, если принять во внимание только ее дискретные значения в равностоящие друг от друга моменты времени (рис. 3.10). Эти ординаты называют дискретами.

Дискретную функцию будем обозначать символом х (пТ), гдеT-период дискретности;п — любое целое число. Для того чтобы получить функциюх(пТ) по заданной непрерывной функцииx(f), в последней необходимо заменитьt напТ

Рис. 3.10. Непрерывная (а) и дискретная (b) функции

Примеры непрерывных функций и соответствующих им дискретных функций приведены ниже.

Таблица 3.1

Заметим, что дискретная функция не является однозначной: ей могут соответствовать различные непрерывные или разрывные функции, если только их ординаты в моменты времени t =пТ равны значениям функциих(пТ). Для устранения этой неоднозначности в рассмотрение вводят смещенные дискретные функции, позволяющие «просматривать» процессы внутри периодов дискретностиТ.

Иногда оказывается удобным перейти к относительному масштабу времени . При этом интервал между дискретами становится равным единице.

Как известно, скорость изменения непрерывной функции определяется ее первой производной. Скорость изменения дискретной функции х(мТ) характеризуется ее первой разностью, деленной на период дискретностиТ. Следовательно, аналогом дифференциалов для дискретных функций являются разности, а интегралов - суммы.

Первая разность, или разность первого порядка, дискретной функции

х(пТ) Δх(пТ) = х(пТ+Т)- х(пТ) также является дискретной функцией времени.

Вторая разность, или разность второго порядка, определяется как первая разность от первой разности:

или

Разность к - го порядка:

Рассмотрим пример. Дана дискретная функция х(пТ)—АпТ (рис. 3.2). Ее первая разность:

является единичной ступенчатой дискретной функцией. Вторая и высшие разности этой функции равны нулю.

Рис. 3.11. Дискретная функция (а) и ее первая разность (b)

Часто на практике вычисляют запаздывающую разность, которую легче получить техническими средствами:

Известно, что исследование динамики непрерывных систем основано на составлении и решении дифференциальных уравнений. Динамические процессы в дискретных автоматических системах описываются разностными уравнениями, или уравнениями в конечных разностях. Линейное неоднородное разностное уравнение с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:

где х_вх(пТ) — известная дискретная функция (задающее воздействие);х_вых(пТ) -дискретная функция, определяемая уравнением (решение); Δ - разности 1-х порядков;b_i иc_i - постоянные коэффициенты.