Критерии устойчивости Гурвица и Рауса (алгебраические)

Необходимое и достаточное условие устойчивости системы управления без решения характеристического уравнения было сформулировано Гурвицем в виде неравенств [3]. Пусть характеристическое уравнение системы управления имеет вид:

b_o sⁿ+b₁ s^n-1+ ... +b_n = 0.

Тогда с учетом его коэффициентов может быть составлена матрица Гурвица:

При составлении матрицы Гурвица по диагонали записываются коэффициенты характеристического уравнения, начиная с b₁. Строки вправо от диагонали заполняются коэффициентами в порядке возрастания индексов, а слева – в порядке убывания. Несуществующие коэффициенты ассоциируются с нулем. Гурвиц доказал, что для выполнения условия устойчивости, то есть для расположения всех корней характеристического уравнения в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы приb_o > 0все определители Гурвица (определители диагональных миноров матрицы Гурвица)

₁ =b₁ >0;₂ => 0; ...

были положительными. Остановимся кратко на некоторых общих замечаниях. Вычисление определителей Гурвица высоких порядков непосредственным разложением их по элементам строки или столбца сопряжено с большим числом вычислений и неоправданной затратой времени, поэтому весьма полезны правила, упрощающие расчеты:

1) для расположения всех корней характеристического уравнения слева от

мнимой оси необходимо(но недостаточно), чтобы все коэффициентыb_i

были одного знака;

2) обращение в нуль определителя _i свидетельствует о появлении пары

чисто мнимых корней;

3) если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то

все вещественные корни (если они есть) отрицательны. Комплексные

корни при этом могут лежать и в правой полуплоскости;

4) если в последовательности b_0, b_1, b_2,…, b_n имеется одна перемена знака, то

имеется один корень, лежащий в правой полуплоскости. Если число

перемен знака равно N > 1, то число таких корней равноN;

5) критерий Гурвица удобно применять для уравнений не выше четвертой

степени. Для более высоких степеней целесообразнее использовать

алгоритм Рауса, ориентированный на использование ЭВМ в расчетах.

Критерий Рауса состоит в следующем [4]. Положим, что найдена передаточная функция замкнутой автоматической системы в форме

.

Характеристическое уравнение при этом имеет вид:

= 0.

Составим таблицу, которая называется таблицей Рауса

Таблица 2.

Алгоритм составления матрицы Рауса очевиден. Сформулируем критерий устойчивости. Для того чтобы автоматическая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

.

Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения отрицателен, то система неустойчива, а если равен нулю, то это свидетельствует о появлении пары чисто мнимых корней, что характерно для неустойчивых систем управления, либо находящихся на границе устойчивости. Число отрицательных коэффициентов равно числу правых полюсов. В таблице Рауса для упрощения расчетов элементы строк можно делить или умножать на положительные величины. Таблица, реализующая алгоритм Рауса, удобна для программирования на ЭВМ, поэтому с помощью этого метода можно исследовать на устойчивость системы высокого порядка, а также исследовать влияние на устойчивость отдельных параметров системы.