Корневые показатели качества

Отметим, что основными показателями качества системы управления являются устойчивость, быстродействие и точность. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы управления считается выполнение условия:

_i < 0; (s_i =_i+j_i ,i=)

где s_i - корни характеристического уравнения замкнутой системы. Рассмотрим влияние вида корней характеристического уравнения замкнутой системы управления на поведение системы управления во времени в переходном и установившемся режимах при подаче на вход системы единичной ступенчатой функции.

1. s_i =  _i < 0, (i= 1,…,n)

2. s_i =  _i +j,  _i < 0, ( i = 1,…, n)

3. s _i =  _i > 0

4. s _i =  _i + j  _i, _i > 0,

h(t)

t

5. s_i = j, автоколебания

h(t)

t

Введем в рассмотрение область задания расположения корней характеристического уравнения эталоной (идеальной) САУ:

s_i , (=+j:-,> 0, |||| ).

Здесь приняты следующие обозначения: - степень устойчивости;- показатель колебательности. Областьвыглядит следующим образом:

где . Для оценки качества САУ в комплексной плоскости понадобятся знания следующих характеристик:

• степени устойчивости

 = | max Re(s_i)|, Re(s_i) < 0, ( i = 1,…, n),

запасом устойчивости по амплитуде называется относительное

увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором

устойчивая система доходит до границы области устойчивости;

• колебательности

 = |Im (s_дом) / Re (s_дом)|;  = arctg ,

колебательность обычно имеет значение 1 - 2, но в отдельных случаях

допускается до 3;

• времени регулирования

T_рег = (1/) ln (1/);

- демпфирования (затухания)

= 1 - exp(-2/),

демпфирование допускается в пределах 90-98%;

- переходной функции

• функции веса

В введенных формулах приняты следующие обозначения: s_i- корень характеристического уравнения;s_дом- доминантный полюс, то есть такой полюс, который имеет минимальный модуль;А(s)иВ(s)– соответственно полиномы числителя и знаменателя передаточной функции замкнутой системы;n- порядок полиномаВ(s);- малое действительное положительное число, характеризующее максимально допустимое отклонение процесса на выходе объекта управления от заданного после окончания переходного процесса.

Следует подчеркнуть, что корни полинома с действительными коэффициентами всегда являются либо действительными числами, либо попарно - сопряженными комплексными величинами.