Характеристическое уравнение. Понятие корневого годографа

Передаточную функцию разомкнутой системы управления можно представить в виде:

Здесь k- числовой коэффициент, в который в качестве сомножителя входит коэффициент усиления сигнала в прямой цепи. Передаточная функция замкнутой системы управления с единичной отрицательной обратной связью определяется по формуле:

Уравнение B(s) + kA (s) = 0называется характеристическим. Его корни называются полюсами, а корни уравненияkA(s) = 0 называются нулями. Полюса и нули могут рассматриваться в качестве динамических характеристик наряду с переходными и частотными. При измененииkот0до бесконечности полюсы описывают в комплексной плоскости траектории, называемые корневым годографом, траектории могут иметь произвольную форму,определяемую уравнением динамики, например, гиперболу

По движению полюсов вдоль траекторий судят о свойствах системы управления. Отметим несколько основных свойств корневого годографа:

• корневой годограф симметричен относительно действительной оси;

• действительная ось принадлежит корневому годографу;

• число ветвей корневого годографа определяется степенью характеристического уравнения.

Основное аналитическое уравнение траектории корней имеет вид алгебраического уравнения:

- .

Это уравнение позволяет по задаваемому значению найти, и наоборот, то естьуравнение дает возможность строить по точкам корневой годограф. Здесь приняты следующие обозначения:A(),B()- полиномыA(s)иB(s)соответственно после подстановкиs = . , - производные этих полиномов. Для многомерной системы управления число характеристических уравнений будет определяться числом управляемых параметров. Если все каналы управления связаны между собой, то характеристические уравнения всех каналов будут одинаковые.