logo
лекции / osnovy_teorii_upravleniya

Аналитическое построение математической модели

Дифференциальное уравнение технического объекта строится следующим образом:

Рассмотрим процедуру вывода дифференциальных уравнений типовых звеньев на примерах анализа работы элементов электрических цепей. Для этого понадобятся знания закона Ома и законов Кирхгофа. Вспомним законы Кирхгофа:

Пример 1.1.Моделью типового апериодического звена может служить пассивная R C цепь:

Если входным воздействием считать напряжение Uo, выходным - , и цепь считать ненагруженной, то, воспользовавшись дифференциальными уравнениями цепи, составленными на основе уравнений Кирхгофа, можно записать:

, .

Учитывая, что , обозначим ток в цепи черезiи перепишем уравнение Кирхгофа для напряжений, получим

R*i+U=U0.

Далее воспользуемсяизвестной формулой зависимости тока на емкости от напряжения, подставим ее в уравнение, получим. Введем обозначение T = R * C, тогда уравнение динамики примет стандартный для звена вид

.

Пример 1.2.Составим дифференциальное уравнение колебательного звена, аналогом которого, может быть контурR L C.

; ; ;

U R + U L + U C = U0;

;

Введем обозначения: T = ;= 0.5 R; тогда уравнение динамики звена примет стандартный вид:

.

Отметим, что совершено различные по принципу действия и конструктивному исполнению устройства могут иметь одинаковые дифференциальные уравнения, что свидетельствует об одинаковом поведении процессов во времени. Аналогично рассмотренным примерам строится математическая модель любого технического объекта или системы.

    1.