15. Реакция линейной замкнутой системы на внешние воздействия. Ду замкнутой системы. Пример

Дано: Передаточные функции предварительно невозбужденной замкнутой системы Ф(р); Ф_f(p); Ф_s(p) и математические модели внешних воздействий v(t); f(t); s(t).

Требуется найти реакцию замкнутой системы y(t).

Используя принцип суперпозиции (принцип наложения), согласно которому реакция линейной системы на несколько внешних воздействий, приложенных в разные точки структурной схемы, равна сумме реакций на каждое из внешних воздействий, взятых в отдельности, искомую реакцию можем записать как

y(t)=y_v(t)+y_f(t)+y_s(t), где y_v(t), y_f(t), y_s(t) – соответственно реакции замкнутой системы на отдельно взятые задающее воздействие v(t), возмущающее воздействие f(t) и шум измерения s(t). Отсюда преобразование Лапласа у(р) реакции y(t) равняется сумме преобразований Лапласа y_v(р), y_f(р), y_s(р) реакций y_v(t), y_f(t), y_s(t), т.е. y(р)=y_v(р)+y_f(р)+y_s(р).

В соответствии с Ф(р)= , Ф_f(р)= и Ф_s(р)= преобразование реакции у(р)=Ф(р)v(p)+Ф_f(р)f(p)+Ф_s(p)s(p) (7) , где ПФ замкнутой системы можно определить с помощью структурных схем, представленных на рис.1 и рис. 2. Структурная схема системы, соответствующая уравнению (7) приведена на рисунке справа.

Определяя обратное преобразование Лапласа от (7), находим y(t)=L^-1[y(p)]. В частности, используя теорему об изображении интеграла свертки, получаем реакции

,

где k(t)=L^-1[Ф(p)] – весовая функция замкнутой системы.

,

где k_f(t)= L^-1[ ] – весовая функция по возмущающему воздействию.

, где k_s(t) =L^-1[ ] – весовая функция по шуму измерения.

Дифференциальное уравнение замкнутой системы.

ДУ системы – это уравнение, связывающее между собой y(t) c v(t), f(t), s(t). ДУ можно определить с помощью структурной схемы (рис. 1) по известным ПФ ее звеньев. Предположим, что найдены в виде отношения многочленов

ПФ ОУ , ПФ прямой связи , ПФ ОС .

При этом 1+W(p)=1+ , где

Д(р) = + (8).

В соответствии с (2), ПФ по задающему воздействию

. (9)

В соответствии с (4) ПФ по возмущающему воздействию

. (10)

В соответствии с (6) ПФ по шуму измерения

. (11)

Если числители этих ПФ не содержат общих делителей со знаменателем Д(р), то Д(р) – характеристический многочлен замкнутой системы.

Пример. ; Д(р)= , а р+1≠Д(р).

Из (7) с учетом (9-11) после умножения на Д(р) получаем уравнение замкнутой системы в изображениях

Д(р)y(р)=K₁(р)K₂(р)v(р)+K₁(р)D₂(р)f(p) - K₁(р)K_β(р)s(p). (12)

Если правая часть равна нулю, то Д(р)y(р)=0 – уравнение замкнутой автономной системы в изображениях. Заменяя в (12) изображения сигналов оригиналами и многочлены от р операторными многочленами, получаем дифференциальное уравнение замкнутой системы, записанное в операторной (символической) форме Д(D)y(t)=K₁(D)K₂(D)v(t)+K₁(D)D₂(D)f(t) - K₁(D)K_β(D)s(t) (13), где

D – оператор дифференцирования.

Пример. Пусть ПФ , , .

Пусть S=0. В этом случае

K₁(p)= ; K₂(p)=k₂(T₂p+1); =k₃(T₃p+1); D₁(p)=T₁p+1; D₂(p)=p.

Согласно (8) Д(р)= + =( T₁p+1)р+ k₁k₃(T₃p+1)=T₁p²+(1+k₁k₃T₃)p+k₁k₃.

В соответствии с (12) и (13) находим уравнение замкнутой системы в изображениях

[T₁p²+(1+k₁k₃T₃)p+k₁k₃]y(p)=k₁k₂(T₂p+1)v(p)+k₁pf(p),

в операторной форме

[T₁D²+(1+k₁k₃T₃)D+k₁k₃]y(t)=k₁k₂(T₂D+1)v(t)+k₁Df(t)

и в оригиналах