1) Замкнутая система неустойчива

Для неустойчивой системы, которая устойчива в разомкнутом состоянии, АФХ W(jω) приведена на рис. 16,a.

Мы видим, что в данном случае значению фазы φ( )= -180^о (- радиан) соответствует значение R( ) больше единицы, так что при этом L( )=20lgR( )>0.

Это является признаком неустойчивой замкнутой системы и соответствует взаимному расположению логарифмических частотных характеристик L(ω) иφ(ω),показанному на рис. 16, б.

Для удобства отсчета фазы ось абсцисс при построении логарифмической фазовой характеристики обычно проводят при значении φ(ω)=-180^о (- радиан).

2) Замкнутая система устойчивая

Из рассмотрения АФХ W(jω) устойчивой разомкнутой системы, которая в замкнутом состоянии устойчивая, видим, что значению φ( )=-180^о (- радиан) соответствует R( )=h<1 (рис. 18,а). При этомL( )=20lgR( )=20lgh<0

(рис. 18,б), что является признаком устойчивой замкнутой системы.

Ордината L=-20lghхарактеристики L(ω), соответствующая значению φ( )= - 180^о(- радиан), определяет запас устойчивости по амплитуде, выраженный в децибелах. Рекомендуется иметь запасы устойчивости:

от 12 дБ до 20 дБ для задающего воздействия

от 3.5 дБ до 9.5 дБ для возмущающего воздействия

=от 40 до 60 для задающего воздействия

от 20 до50 для возмущающего воздействия.

Угол γ, представляющий собой запас устойчивости по фазе, определяется точкойВ, полученной в результате пересечения характеристикой W(jω) окружности единичного радиуса, проведенной из начала координат. Следовательно, в точкеВ величина R( )=1, а это значит, что частота, соответствующая точке В, есть частота среза .

Таким образом, на логарифмических характеристиках угол γ представляет собой значение фазовой частотной характеристики, соответствующее частоте среза ω_c (рис. 17б).

Замкнутая система будет находиться на колебательной границе устойчивости, если на той же частоте ω_с, где ЛАЧХ разомкнутой системы обращается в нуль, значение фазовой частотной характеристики равно -180 градусов (- радиан).

Вывод. Если каждая из характеристик L(ω) и φ(ω) устойчивой в разомкнутом состоянии системы лишь один раз пересекает ось частот, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условиеω_с< .

Если ω_с= = , то система находится на границе устойчивости.

Общий случай. Будем считать «+1 – пересечением» логарифмической фазовой частотной характеристикой уровня -180 градусов (- радиан) снизу вверх и «-1 – пересечением» - пересечение логарифмической фазовой частотной характеристикой уровня -180 градусов (- радиан) сверху вниз при положительном значении логарифмической амплитудно-частотной характеристикой.

Логарифмический критерий устойчивости гласит:

1. Если разомкнутая система имеет l правых полюсов, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на интервале частот, когда L(ω)>0, общее число пересечений логарифмической фазовой частотной характеристикой уровня -180 градусов снизу вверх превышало общее число пересечений сверху вниз на l/2.

На рис. 18 показаны АФХ и соответствующие ей логарифмические характеристики.

Как видим, число пересечений снизу вверх (+1) равно 2, а число пересечений сверху вниз (-1) равно 1. Отсюда замкнутая система устойчивая, если разомкнутая система имеет l=2 правых полюсов.

2. Если разомкнутая система устойчивая , то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на интервале частот, когда L(ω)>0, общее число пересечений логарифмической фазовой частотной характеристикой уровня -180 градусов снизу вверх было равно общему числу пересечений сверху вниз.