44.(Вкл в себя72) Количественная оценка неопределенностей модели объекта

Введем следующие обозначения: П- множество всех возмущенных объектов («множество неопределенности»), W₁ (p) - передаточная функция номинальной модели ОУ (невозмущенного объекта), которое также входит во множество П, W_1р (p) П– передаточная функция реальной (возмущенной) модели ОУ, одного из элементов множества П.

Классификация неопределенности.

Параметрическая неопределенность. Здесь структура модели объекта известна (включая порядок (степень)), но некоторые параметры являются неопределенными. Такой вид неопределенности называют также структурированной неопределенностью. Это самый наглядный вид неопределенности. Например, пусть ПФ объекта W_1p(p)=k₁/(p+a) с параметрами

k₁=1.0 0.2, a=10 1.3. Выберем номинальную ПФ W₁(p)=1.0 /(p+10).

При этом все возможные модели объекта W_1р (p) П, где

П={k₁/(p+a): 0.8 k₁ 1.2, 8.7 a 11.3}.

Параметрические модели редко используются, т.к. они не оставляют места для немоделируемой динамики (см. ниже), и приводят к достаточно сложным методам анализа и синтеза систем.

Неопределенность игнорируемой или немоделируемой динамики. Здесь ошибка модели имеет место из-за неучтенной динамики (обычно в высокочастотной области) или из-за преднамеренного игнорирования динамики (с целью получить простую модель) или из-за недостаточного понимания сути физических процессов. Любая модель реального объекта будет содержать эти источники неопределенности. Такой вид неопределенности называют также неструктурированной неопределенностью. Сосредоточенная (взятая в целом) неопределенность. Здесь описание неопределенности представляет один или несколько источников параметрической неопределенности и/или немоделируемой динамики, объединенных (комбинируемых) в одну сосредоточенную неопределенность. Рассмотрим в качестве сосредоточенной неопределенности мультипликативную неопределенность, при которой (рис. 1)

П: , (1)

где - произвольная передаточная функция, удовлетворяющая условию , и - передаточная функция, определяющая границы неопределенности. Индекс относится к норме, которая, как известно, называется бесконечной нормой и обозначается . Она определяет

.

П ричина для использования нормы в том, что при другой форме записи

Рис. 1

у словия можно опустить . Здесь произвольная устойчивая ПФ (все полюсы левые), модуль, другими словами, АЧХ которой на любой частоте меньше или равна 1.

Некоторые допустимые ПФ для : .

Представление неопределенности в частотной (комплексной) области.

Лучший путь представить мультипликативную неопределенность в частотной области. Рассмотрим, как это можно сделать на примере. Пусть дана ПФ объекта

с параметрическими неопределенностями. Изменяя параметры в заданных пределах для серии значений частоты на плоскости АФХ , мы получим множество точек , соответствующих различным (сочетаниям) наборам параметров из области определения, и найдем границы районов неопределенности для каждого множества точек (рис. 2).

Рис. 2

З атем для каждого значения (рис. 3) выбираем точку, соответствующую «типичному» значению (на рис. обозначена +), которое принимаем за номинальное значение множества П, после чего находим радиус r_A( ) окружности с центром в точке , которая охватывает с максимальной близостью район неопределенности, и принимаем за границу мультипликативной неопределенности r_M( )= r_A( )/| |.

Рис. 3

На рис. 3 показана аппроксимация с помощью окружности (сплошная линия) исходного района неопределенности (пунктирная линия). Кривые соответствуют частоте = 0.2 на рис. 2. Здесь r_M( ) есть максимальная граница мультипликативной неопределенности.

Альтернативно можно ввести понятие аддитивной неопределенности, описываемой множеством

П: , (2) где произвольная устойчивая ПФ

,

- граница аддитивной неопределенности. Аддитивная неопределенность может также быть представлена с помощью окружностей (рис. 4), т.е. r_A( ), причем радиус r_A( ) каждой окружности определяет максимальную границу аддитивной неопределенности для каждого значения частоты.

Рис. 4

Мультипликативная неопределенность (1) эквивалентна аддитивной неопределенности (2) при

= / . (3)

Алгоритм определения границ для неопределенностей:

Выбираем номинальную модель .

Аддитивная неопределенность. На каждой частоте находим наименьший радиус r_A( )окружности, которая охватывает все возможные модели, принадлежащие множеству П, и определяем границу

r_A( )= . (4) Мультипликативная неопределенность. Определяется

к ак r_M( )= . (5)

Суперпозиция (наложение) кругов с радиусом r_A( ) для 0 формирует затененную полосу и АФХ номинального ОУ (сплошная линия) (рис. 5). Тонкие линии, определяющие затененную полосу, говорят о том, что АФХ реального объекта проходит где-нибудь внутри затененной полосы.

З атененную полосу можно отобразить также с помощью АЧХ

Рис. 6 На этом рисунке границы затененной полосы + и − изображены пунктирными линиями, АЧХ номинальной модели объекта синей

линией, АЧХ возможных моделей объекта сплошными черными линиями.