32. Коррекция системы с опережением по фазе(реальный пд-регулятор)

а) КУ с опережением по фазе. Его ПФ: .

Параметры КУ:q₁=T, q₂=α, q₃=k₂, α< 1,где 1/α – коэффициент опережения по фазе.

Построим ЛЧХ КУ (см. рис. ниже). Положим k₂=1. Найдем сопрягающие частоты:

₁=1/T, ₂=1/αT.Т. к.α< 1, то ₂> ₁.

Т ак как , то .

Выражение для ЛФЧХ: φ₂( )=arctg T- arctgα T.

Известно, что .

Полагая x= T, y=α T, получаем .

Дифференцируя φ₂( )по , находим (*)

и максимум .

График зависимости изображен на рисунке:

М ожно показать, что .Отсюда получаем аналитическое выражение . (**)

Если α=0, то - ПД-регулятор.

Необходимо выбрать α и Т так, чтобы система удовлетворяла заданным требованиям. При этом обычно пытаются расположить частоту вблизи желаемой частоты среза таким образом, чтобы желаемая частота среза оказалась примерно посредине между частотами ₁ и ₂. Т.к. с уменьшением α увеличивается усиление на высоких частотах, что сопряжено с ослаблением помехоустойчивости (зашумленности управляющего воздействия), то приходится искать компромиссное решение между желанием добиться дополнительно большого значения фазового угла и неблагоприятной тенденцией получить большое усиление на высоких частотах (большое усиление шума измерения). Так обычно пытаются взять , что означает . Если требуется больший положительный сдвиг по фазе, то используют несколько последовательно включенных КУ с опережением по фазе.

б) Выбор параметров α и Т корректирующего устройства с опережением по фазе.

Пусть заданы требуемые значения коэффициента усиления k* и запаса устойчивости по фазе γ*.

Изменим коэффициент k₁ нескорректированной системы так, чтобы коэффициент усиления скорректированной системы был равен требуемому значению k*, т.е., чтобы выполнялось условие: k=k*.

1. Построим ЛЧХ нескорректированной системы L₁( ) и φ₁ ( ) и определим запас устойчивости по фазе

γ ₁=180⁰+φ₁( _c), где _c – частота среза нескорректированной системы. Нескорректированная система при высоких значениях k₁ оказывается неустойчивой или весьма колебательной, т.е. γ₁ < γ*

2. Определим разность между γ₁ и γ* .

3. Выбираем параметр α из условия , используя для этой цели формулу (**) для или графическую зависимость .

4. Определяем частоту среза скорректированной системы _c*, исходя из .

5. Полагая *= _c*, находим параметр и сопрягающие частоты ₁=1/T, ₂=1/αT.

6. По формулам строим ЛЧХ скорректированной системы и определяем, удовлетворяет ли система требованиям с точки зрения запаса устойчивости по фазе.

Действительно, если вычисления выполнены точно, то

, и L( ) должна пересекать ось частот при = _c*, так что _c*= *.

М аксимальный сдвиг по фазе должен быть при _c*. Если , то процесс синтеза заканчивается, если нет, то необходимо варьировать параметры.

Достоинства:

1. КУ с опережением по фазе не затрагивает низкочастотного участка ЛАЧХ, т.е. не влияет на заданную точность работы системы в установившемся режиме.

2. Добились желаемого запаса устойчивости по фазе γ*, повышает запасы устойчивости.

3. _c*> _c , следовательно, увеличивается полоса пропускания (ПП) и увеличивается быстродействие.

Недостатки:

1. Увеличение полосы пропускания влечет за собой снижение помехоустойчивости.

2. Увеличение быстродействия связано с увеличением управляющего воздействия u(t), что может повлечь за собой выход системы из строя или заставить работать систему в нелинейном режиме. Поскольку при синтезе все элементы предполагались линейными, то влияние нелинейностей в рамках линейной теории оценить невозможно.

Процесс проектирования слегка упрощается, если мы ставим задачу спроектировать КУ с опережением по фазе при заданной частоте среза _c* и заданном запасе устойчивости γ*:

1. Определяем требуемое значение ;

2. Находим ;

3. Находим параметр и частоты ₁=1/T, ₂=1/αT;

5. Выбираем коэффициент усиления k₂ так, чтобы ЛАЧХ скорректированной системы пересекла ось частот при частоте _c* .

Техническая реализация КУ с опережением по фазе

,где .

Коэффициент усиления нескорректированной системы надо увеличить в 1/α, чтобы включение цепи не повлекло за собой уменьшение коэффициента усиления системы.

Вопрос № 33(+55) Логарифмические частотные характеристики (диаграммы Боде)

Анализ и синтез САУ удобно выполнять, используя логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), что объясняется простотой их построения.

ЛЧХ называют построенные в логарифмическом масштабе частотные характеристики R( ) и . Для фиксированной частоты значение R( ) – отношение амплитуд гармонических сигналов на входе и на выходе звена. Если на входе и выходе сигналы одной физической природы, то есть натуральное число, показывающее во сколько раз больше амплитуда выходного сигнала Авых , чем амплитуда входного сигнала Авх. Это число может с изменением частоты изменяться в очень широких пределах, что создает трудности при построении ЛЧХ. Поэтому в качестве единицы измерения используют такую единицу измерения как децибел (дБ). Число R, выраженное в децибелах, определяется так:

L=20lgR [дБ] .

Значения ФЧХ при построении ЛЧХ обычно измеряют в градусах или радианах.

Дадим определение ЛЧХ с учетом замечаний относительно единиц измерения.

Определение. Логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ) называют график зависимости L( )=20lgR( ), построенный в логарифмическом масштабе частот lg .

Определение. Логарифмической фазо-частотной характеристикой называется график зависимости , построенный в логарифмическом масштабе частот lg .

Построение логарифмической оси частот

Возьмем частоты, кратные десяти:

=

Найдем lg =i и на оси абсцисс отложим значения lg , а около засечек запишем значения самой частоты (см. рисунок) Если теперь уберем с оси значения lg , то получим логарифмическую ось частот.

Логарифмическая ось равномерна относительно частот, кратных 10.

Так же можно получить точки на оси частот для частот, некратных 10, например: =2, lg2=0,3.

Говорят, что если частота изменилась в 10 раз, то она изменилась на декаду, т.е. логарифмическая ось фактически разбита на декады.

Размерность угловой частоты: [ ]=[рад/с] записывают как [ ]

Частотные характеристики звеньев должны начинаться с какой-то частоты. Логарифмическая ось частот начинается в бесконечности, т.к. логарифм нуля не существует.

Поэтому обычно ось ординат проводится на такой частоте, чтобы все характерные особенности ЛЧХ оказались справа от этой оси.