Вопрос 37. Описание элементов сау. Линеаризация.

Элементом САУ называется устройство, преобразующее один процесс (входное воздействие) в другой процесс (выходную реакцию), другими словами, устройство, которое осуществляет преобразование «вход-выход». Необходимо получить математическую модель элемента, т.е. его описание на каком-либо формальном языке.

Универсальным языком теоретического естествознания, служащим для математического моделирования взаимосвязей процессов в природе и технике, является язык уравнений – алгебраических и, в особенности, дифференциальных.

Под математической моделью элемента мы понимаем ДУ элемента, связывающее выходные и входные величины элемента. Это есть описание преобразования «вход-выход» в неявной форме.

Схематическое представление элемента

Э лемент, представленный своим уравнением (математической моделью), называется звеном.

Обычно уравнение элемента получают аналитическим путем, используя законы природы, которые положены в основу принципа действия элемента (модели типа «белый ящик»). Другой путь - идентификация: определение математической модели сложных элементов, обычно объектов управления, экспериментальным путем (модели типа «черный ящик»).

Наиболее общей математической моделью динамического элемента является нелинейное ДУ (НЛДУ) следующего вида ,(1) где F – нелинейная функция; ; . Здесь n – порядок уравнения, определяющий и порядок элемента. Уравнение (1) называют уравнением динамики элемента.

Заметим, что выход динамического (инерционного) элемента зависит от настоящего значения входа и прошлых значений входа и выхода в отличие от статического (безинерционного) элемента, выход которого зависит лишь от настоящего значения входа.

Уравнение статики элемента. Пусть входное воздействие – постоянная величина, , так что .

Пусть существует такое , которое обращает уравнение (1) в тождество. При этом

. Такой режим, с постоянными значениями на входе и выходе, носит название состояние равновесия (покоя, номинальный режим работы, рабочая точка).

Подставляя в уравнение динамики (1) вместо y и v соответственно и , получаем уравнение статики элемента: . (2)

Разрешая (1) относительно выходного сигнала, находим уравнение статики , записанное в другом виде. Уравнение статики является нелинейным алгебраическим уравнением. График зависимости называется статической характеристикой элемента. Как пример, на рисунке ниже показана статическая характеристика электронного прибора.

З ная график, легко определить выход по известному входу , не решая уравнения статики. При этом точка А с координатами ( , ) называется рабочей точкой. Элементы, описываемые нелинейными алгебраическими (НАУ) или дифференциальными уравнениями (НЛДУ), называются нелинейными. Уравнение элемента описывает свойства элемента в неявном виде. Для анализа свойств элемента в явном виде надо решить следующую задачу.

Известно уравнение (1) и v(t), и необходимо определить y(t). Если элемент нелинейный, то трудно решить НЛДУ. Но существуют приемы, позволяющие упростить математическую модель. К таким приемам относится в первую очередь линеаризация.

1. Линеаризация – процесс преобразования нелинейной математической модели элемента (1) в эквивалентное, при определенных условиях, линейное ДУ.

Пусть нелинейный элемент находится в состоянии равновесия, при этом выход и вход характеризуется и . Предположим, что входное воздействие отклонилось от , а значит (по 1) отклонится и выход от , так что , .

Здесь - отклонение выхода, - отклонение входа.

Отсюда отклонения от нуля i - ых производных выхода и входа:

при =const, при =const.

Подставляя в (1) , ,получаем уравнение нелинейного элемента в отклонениях (приращениях)

. (3)

Предположим, что нелинейная функция однозначна и дифференцируема по всем своим аргументам, по крайней мере, в окрестности точки А, соответствующей положению равновесия, т.е. существуют частные производные функции F в окрестности точки А, разложение в окрестности точки ( , ). При этом можно разложить F в ряд Тейлора в окрестности точки А:

(4)

Здесь R – остаточный член разложения в ряд.

Предположим, что отклонения выхода и входа и , и их производных являются малыми, при этом можем пренебречь R, т.е. считать, что в виду малости по сравнению с другими членами разложения, т.к. он включает слагаемые, содержащие отклонения и в степени выше первой. Принимая во внимание уравнение (2) и вышесказанное относительно R, можно записать уравнение (4) в виде

(5)

Где , , , . (6)

Индекс «0» в уравнениях (4) и (6) означает, что после определения частных производных заменяем y на , v на . Следовательно, и - постоянные коэффициенты, а уравнение (5) является линейной математической моделью элемента (ЛДУ с постоянными коэффициентами).

Как видим, сущность линеаризации заключается в замене нелинейного ДУ (3) линейным ДУ (5). Такая замена справедлива при малых отклонениях входа и выхода элемента, т.е. уравнения (3) и (5) эквивалентны только при выполнении данного условия.

Заметим, что уравнение (5) , называемое линеаризованным уравнением элемента, отражает его нелинейные свойства. Действительно, при изменении рабочей точки, т.е. при другом постоянном входе, изменяются в соответствии с выражением (6) коэффициенты уравнения (5).