46. Критерий Найквиста для случая нейтрально-устойчивой разомкнутой системы.

Сущность критерия Найквиста в том, что он позволяет по виду АФХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы. При этом АФХ разомкнутой системы может быть или получена расчетным путем из выражения для передаточной функции, или снята экспериментально.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы ,

так что АФХ равна . Рассмотрим новую функцию f(jω), связанную с соотношением . (14)

Здесь представляет собой годограф характеристического уравнения разомкнутой системы, а Д(jω) – замкнутой системы. АФХ нейтрально устойчивой разомкнутой системы начинается в бесконечности, т.е. характеристика не является замкнутой, что затрудняет применение критерия Найквиста. Чтобы распространить критерий Найквиста на этот случай, необходимо подробнее исследовать, как ведет себя АФХ при ω→0, т.е. в бесконечности. Вспомним, что АФХ разомкнутой системы получается из передаточной функции при р=jω. Изобразим р на комплексной плоскости (рис. 12).

Рис. 12

При изменении ω от 0 до ∞ функция р=jω меняется вдоль мнимой оси от 0 до +j∞. При ω=0 р находится в начале координат (р=0), благодаря чему выражение для ПФ и обращается в бесконечность, что затрудняет исследование АФХ. Это затруднение можно обойти следующим приемом. Рассмотрим некоторый другой закон изменения р такой, чтобы при р≠0 имело место р=jω, но при р→0 начало координат было исключено, как, например, показано на рис. 13.

Рис. 13 Следовательно, при всех конечных р (р≠0) имеем обычную АФХ . Однако при р→0 закон изменения р другой: р=rе^jψ, причем r→0, а ψ меняется от 0 до π/2. Следовательно, при р→0 .

При таком законе изменения р мы получим обычный вид АФХ для всех конечных значений ω, т.к. р=jω, и мы можем исследовать вид АФХ при р→0, т.е. в бесконечности.

Учитывая, что при р→0, r→0, а ψ меняется от 0 до π/2, получим W(р)= Rе ^–jνψ, где R = ∞, а νψ меняется от 0 до ν π/2. Следовательно, при р→0, а значит при ω →0, АФХ представляет собой дугу бесконечно большого радиуса, который описывает угол от 0 до νπ/2 в отрицательном направлении (дополнение). Например, при ν =1 имеем νπ/2= π/2. Из рис. 14 видно, что характеристика получилась замкнутой и к ней можно применить критерий Найквиста.

След-но, если разомкнутая система нейтральноустойчивая, то замкнутая система будет устойчивая, при условии, что АФХ разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса в ν четвертей окружности, не охватывает точку (-1, j0), где ν число нулевых корней характеристического ур. разомкнутой системы D(p)=0 (число интеграторов) или при условии, что диаграмма Найквиста разомкнутой системы, дополненная дугой бесконечно большого радиуса в 2ν четвертей окружности, не охватывает точку (-1, j0) (рис. 14.1).