logo
тау__Irus

56. Частотные методы оценки качества переходного процесса.

а) Оценка качества переходного процесса по АЧХ замкнутой системы и АФХ разомкнутой системы.

Система автоматического управления была бы идеальной, если бы выходная величина системы в любой момент времени в точности равнялась бы входной величине. Так как любой входной сигнал может быть представлен в виде суммы синусоидальных составляющих с разными частотами путем разложения в ряд Фурье или представления в виде интеграла Фурье, то в случае идеальной системы амплитуда любой гармоники на выходе должна равняться амплитуде той же гармоники на входе, т.е. АЧХ замкнутой системы, определяемая как Ф(ω)=|Ф(jω)|, где Ф(jω)=Ф(р)|p=j представляет собой АФХ замкнутой системы, должна удовлетворять условию Ф(ω)=1 (83) для всех частот.

Обычно составляющих очень высокой частоты в задающем воздействии не содержится. Поэтому условие (83) должно выполняться лишь для некоторой полосы частот от 0 до ωcз, а при остальных частотах Ф(ω) в соответствии с требованием высокой помехоустойчивости должна обращаться в нуль.

Таким образом, характеристика Ф(ω) для идеальной системы должна иметь вид АЧХ идеального фильтра низких частот, показанной на рис. 15.

Характеристика Ф(ω) реальной системы отличается от идеальной (рис. 15) наличием максимума Фмакс и постепенным спадом при высоких частотах. Частота ωp, при которой Ф(ω)=Фмакс, называется резонансной частотой.

Рис. 15 Сравнивая характеристики реальной и идеальной систем, видим, что различие между этими характеристиками тем больше, чем больше величина М=Фмакс. Поэтому эта величина, называемая показателем колебательности, может служить для оценки качества переходного процесса, а именно для оценки запаса устойчивости (колебательности) системы. Чем больше М, тем больше колебательность, а следовательно, и перерегулирование. Если М обращается в бесконечность, то это свидетельствует о нахождении системы на границе устойчивости. Действительно, если модуль характеристики Ф(jω) равен бесконечности, то и само выражение Ф(jω)= ∞ на частоте ωp. Следовательно, система имеет два сопряженных мнимых полюса ±jωр. Обычно считают, что переходная характеристика имеет слабую колебательность, если величина М не превосходит 1,1-1,25. Если начальное значение характеристики Ф(ω) не равно 1 (это имеет место в случае статических систем), то за показатель колебательности принимают величину относительного максимума Фмакс/Ф(0). При M>1 время установления ty можно оценить по формуле . (85) По этой же формуле можно приближенно оценить время tm первого максимума переходной характеристики h(t) системы. Обычно при М=1,1-1,25 круговая частота ωt колебаний переходной характеристики близка к частоте резонанса. Если теперь считать, что число колебаний за время переходного процесса tp равно двум, то . (86) О быстродействии можно судить по частотам ωп и ωb, определяющих полосу пропускания замкнутой системы соответственно на уровне 1 и 0,707. Дело в том, что при М=1,1-1,25 ωп и ωb примерно равны резонансной частоте. Заметим, что полосой пропускания называют диапазон частот , в котором управление эффективно. Обычно .

От оценок по частотным характеристикам замкнутой системы можно перейти к оценкам по АФХ разомкнутой системы. При этом в качестве оценок фигурируют частота среза ωc и запасы устойчивости по фазе и амплитуде 1/h. В случае, когда переходная характеристика носит колебательный характер (М>1), частота ωc приблизительно равна частоте ωp. Поэтому время ty и tp можно определить по формулам (85) и (86), произведя в них замену ωp на ωc. Перерегулирование, а, следовательно, и колебательность переходной характеристики можно оценить по запасам устойчивости и 1/h, показывающим, насколько удалена АФХ от точки с координатами (-1,j0).

Запас устойчивости можно связать с показателем колебательности М, если аппроксимировать систему высокого порядка системой второго порядка. На возможность такой аппроксимации как первого приближения указано А.Ю.Ишлинским.

Как показала практика, для качественной работы системы требуется запас устойчивости по амплитуде, который лежит в пределах 3-5.

б) Оценка качества переходного процесса по ЛЧХ. Запасы устойчивости по фазе и амплитуде , а также частота среза ωc могут быть найдены с помощью ЛЧХ L(ω) и разомкнутой системы. Поэтому все выводы предыдущего раздела, касающиеся вопроса об оценке качества системы с помощью величин , 1/h, c, справедливы и в данном случае. Так, приемлемый запас устойчивости по амплитуде определяется рекомендуемыми значениями 1/h и лежит в пределах 10-15 дБ.

С помощью ЛЧХ можно получить более точную оценку качества минимально-фазовых систем.

Как известно, в минимально-фазовых системах существует однозначная связь между логарифмическими амплитудной L(ω) и фазовой характеристиками. Поэтому о свойствах таких систем можно судить, лишь зная одну из этих характеристик. В теории автоматического управления применяют обычно характеристику L(ω), имея в виду простоту ее построения. В основу суждения о поведении замкнутой системы положено понятие типовой ЛАЧХ L(ω). Если ЛАЧХ разомкнутой системы удовлетворяет следующим трем условиям:

- значения ЛАЧХ в низкочастотной области относительно велики с целью обеспечения малой величины установившейся ошибки;

- значения ЛАЧХ в высокочастотной области относительно малы с целью уменьшения влияния высокочастотных помех;

- наклон ЛАЧХ в области средних частот [0,4 ωc; 4 ωc] примерно равен -20дБ/дек, то справедливы следующие соотношения, связывающие показатели качества .

Здесь М – показатель колебательности, - полоса пропускания, определяемая диапазоном частот, в котором АЧХ замкнутой системы больше или равна единице.

При этом относительный коэффициент затухания и собственная частота колебания 0, соответствующие паре ближайших к мнимой оси комплексно-сопряженных полюсов замкнутой системы (доминирующих полюсов), определяются как Оценка качества системы по этим формулам обеспечивает достаточную для практики точность. Так частота среза ωc косвенно характеризует длительность переходного процесса. Время переходного процесса tp≈3/ωc при 5% допустимой ошибке обратно пропорционально частоте среза. Особо отметим, что для малой колебательности (большого запаса устойчивости) системы необходимо, чтобы частота среза ωc приходилась на участок характеристики L(ω) с наклоном -20дБ/дек. Причем, чем шире участок с наклоном -20дБ/дек, тем больше запасы устойчивости системы при прочих равных условиях.

в) Оценка качества переходного процесса по функции чувствительности и дополнительной функции чувствительности. В последнее время для суждения о свойствах САУ используют совместно модуль функции чувствительности |S( )| и модуль дополнительной функции чувствительности |T( )|, другими словами АЧХ |Ф( )| замкнутой системы.

К ритерий максимальных значений (оценка колебательности и робастности) При этом характеризуют качество системы по максимальным значениям функции чувствительности и дополнительной функции чувствительности: ; .

Величина определяет наименьшее расстояние от АФХ разомкнутойсистемы до критической точки (-1,j0). Рекомендуемые значения: , .

Если максимумы удовлетворяют этим рекомендациям, то запасы устойчивости определяются неравенствами ,

П олоса пропускания и частота среза (оценка быстродействия). Определим полосу пропускания замкнутой системы с помощью частоты , которая соответствует частоте, при которой первый раз пересекает прямую снизу. Полосу пропускания замкнутой системы в рамках T определяют с помощью частоты , самой большой частоты, при которой пересекает прямую сверху (см. рис).