logo
тау__Irus

53 Минимально-фазовые звенья

В общем случае передаточная функция звена ;

где k’=b0/a0 - приведенный коэффициент усиления;

; ; .

По теореме Безу: Здесь zj, - нули ПФ; si, - полюса ПФ. Как видим, M(p) и N(p) – приведенные многочлены (коэффициент при старшем члене равен 1).

zj находятся как корни M(p)=0; W(p)=0

si - находятся как корни N(p)=0; W(p)=

Если N и M не содержат общих множителей, то говорят, что zj и si - нули и полюса звена.

Определение: 1.Звено называется минимально-фазовым, если вещественные части всех его нулей и полюсов являются отрицательными или тождественно равными нулю.

2. Звено называется неминимально-фазовым, если оно содержит хотя бы один нуль или полюс с положительной вещественной частью.

Условие минимальной фазности:Re Si≤0, , Re Zj≤0,

Неминимально-фазовые звенья, содержащие полюсы с положительной вещественной частью, называются неустойчивыми звеньями.

Пример. Рассмотрим апериодическое звено с ПФ: , Т>0

Следовательно, имеет полюс S1=-1/T <0 – минимально-фазовое звено.

Рассмотрим неустойчивое апериодическое звено с ПФ: ;

S1=1/T >0 – неминимально-фазовое звено.

ЛАЧХ:L( )=La( ) ;L( ) – неустойчивого, La( ) – апериодического звеньев.

ФЧХ неустойчивого звена: ( )=-[π+ ( )], где a( )= -arctg T

является ФЧХ апериодического звена .

Как видим, | ( )|>| a( )|, , кроме .

К минимально-фазовому звену из множества звеньев с одинаковыми ЛАЧХ, относится звено с ФЧХ (1)/

Выражение для ФЧХ минимально-фазового звена по теореме Бодэ ( )= , (*)

где =lg , а - малая величина.

Из этого выражения следует, что для минимально-фазового звена:

  1. можно найти ( ) по L( );

  2. выражение ( ) для ФЧХ при =lg в основном определяется наклоном L( ), т.к. - малая величина.

Условие минимальной фазности позволяет находить W(p) по L( ), и по W(p) находить ( ), особенно просто по асимптотической ЛАЧХ.

Пример. Известна ЛАЧХ минимально-фазового звена. Надо найти W(p).

Т ак как 20lgk=20, следовательно, k=10;

1/T=5, поэтому T=0.2.

ПФ W(p)=10/(0.2p+1),

т.к. звено минимально-фазовое. Отсюда ЛФЧХ

( )=-arctg0.2 .