60. Критерий Михайлова.

В основе его лежит понятие годографа характеристического многочлена. Рассмотрим характеристический многочлен замкнутой системы

(8). Заменяя в (8) р на jω, получим .

При каждом значении ω величина будет представлять собой вектор на комплексной плоскости. При изменении ω от -∞ до ∞ конец этого вектора опишет кривую, называемую годографом характеристического уравнения. Критерий Михайлова позволяет судить об устойчивости системы по виду годографа характеристического уравнения. Для получения критерия устойчивости Михайлова представим годограф Д(jω) в виде. Обозначим через р₁, р₂, …, р_n корни характеристического уравнения Д(р)=0. Тогда характеристический многочлен можно представить в виде . (9)

Заменяя р на jω, получим следующее выражение: .

Рассмотрим какое-то значение ω=ω₁. Обозначим через argД(jω) угол, который составит вектор Д(jω) с вещественной осью при ω=ω₁, т.е. ω=argД(jω₁) при ω=ω₁.

Э то иллюстрируется на рис. 5. Поставим задачу определить, насколько изменится аргумент Д(jω) при изменении ω от -∞ до +∞, т.е. найдем величину . Так как Д(jω) представляется в виде произведения отдельных сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей, то при а₀ > 0 изменение аргумента Д(jω) равно сумме изменений аргументов

Рис 5.

сомножителей (11)

Вид отдельных сомножителей Д(jω) определяется значением корней р_к характеристического уравнения. Здесь могут быть два случая:

а) Вещественная часть корня р_к отрицательна, т.е. Re p_k<0;

б) Вещественная часть корня р_к положительна, т.е. Re p_k>0.

И зобразим сомножители выражения (9) в виде векторов на комплексной плоскости и определим изменение их аргумента, считая поворот вектора против часовой стрелки положительным (рис). Из этого рисунка непосредственно видно, что

(12)

Предположим, что характеристическое уравнение имеет q корней с положительной вещественной

частью, а значит n - q корней с отрицательной вещественной частью. При этом в соответствии с выражениями (11) и (12) изменение аргумента равно:

. Учитывая симметрию годографа Д(jω), можем ограничиться рассмотрением диапазона изменения ω от 0 до ∞. При этом изменение аргумента будет в два раза меньше: .

Если число корней с положительной вещественной частью равно нулю, т.е. q=0, то

. Это соотношение и выражает критерий Михайлова, который может быть сформулирован следующим образом: САУ устойчива, если при возрастании ω от 0 до ∞, вектор Д(jω) повернется на угол против часовой стрелки, где n – степень характеристического уравнения системы, или, что то же самое, если годограф характеристического уравнения при изменении ω от 0 до ∞ обходит последовательно n квадрантов комплексной плоскости, начиная с положительной действительной оси, нигде не обращаясь в нуль. На рис. приведены годографы устойчивых (а) и неустойчивых (б) систем для некоторых значений n. Заметим, что критерий Михайлова можно использовать также для определения устойчивости разомкнутой системы. При этом необходимо строить годограф характеристического уравнения разомкнутой системы D(jω), получаемый из характеристического многочлена разомкнутой системы D(p) путем замены р на jω.