24. Селективная абсолютная инвариантность к задающему воздействию в системах с единичной обратной связью. Принцип внутренней модели.

Рассмотрим систему с единичной обратной связью, т.е. систему, в которой используется принцип управления по ошибке. Пусть задающему воздействию v(t) соответствует изображение

v(p)=K_v(p)/D_v(p) (54а) и известны полюсы этого изображения, другими словами, корни уравнения D_v(p)=0, Причем степень полинома D_v(p) равна degD_v. Тогда уравнение селективной абсолютной инвариантности v(t):ε_уст(t)=0 можно записать по отношению к передаточной функции разомкнутой системы в виде (55) где D(p)= .

При этом передаточная функция по ошибке оказывается равной (55б)

где Д(р)=D(p)+К(р) есть характеристический многочлен замкнутой системы управления (знаменатель передаточной функции Ф(р)), и ε_уст=0. Действительно, с учетом ε(p)=Ф_ε(р)v(p), (54а) и (55б) изображение ошибки содержит лишь полюсы проектируемой системы р_i, i= , т.е. корни уравнения Д(р)=0, degД=n, которые для обеспечения устойчивости должны быть левыми. Следовательно, ошибка воспроизведения при простых корнях ,

с течением времени стремится к нулю, т.е. .

Вывод. Передаточная функция W₂(p) управляющего устройства, обеспечивающего селективную абсолютную инвариантность системы управления к задающему воздействию, должна включать как свои полюсы все полюсы изображения этого задающего воздействия. Приведенный вывод можно рассматривать как конкретизацию принципа внутренней модели, который говорит о том, что хорошая система должна содержать модель внешней среды, в данном случае передаточная функция разомкнутой системы должна включать в себя математическую модель задающего воздействия, точнее знаменатель D_v(p) в изображения задающего воздействия.

Из этого вывода следует, что условие селективной абсолютной инвариантности можно записать как .

Пример1. Пусть задающее воздействие – постоянный сигнал v(t)=a₀, так что V(p)=a₀/p, q₁=0, и условие селективной абсолютной инвариантности принимает вид: W(0)=∞, т.е. значение АЧХ разомкнутой системы на нулевой частоте должно быть равно бесконечности, другими словами, ПФ разомкнутой системы должна включать в себя хотя бы одно интегрирующее звено – система должна обладать астатическими свойствами.

Пример2. Пусть задающее воздействие – гармонический сигнал v(t)=v₀sinw_vt, с амплитудой v₀ и частотой w_v. Тогда V(p)=v₀w_v/(p²+w²_v), q_1,2=±jw_v. При этом условие селективной абсолютной инвариантности принимает вид: W(jw_v)=∞, т.е. значение АЧХ разомкнутой системы на частоте задающего воздействия |W(jw_v)| должно быть равно бесконечности, другими словами, знаменатель ПФ разомкнутой системы должен содержать сомножитель p²+w²_v.

Заметим, что в селективной абсолютной инвариантной системе с единичной обратной связью нулевая установившаяся ошибка воспроизведения сохраняется независимо от уровня задающего воздействия, а также от параметров объекта управления. Дело в том, что условие инвариантности (55), записанное применительно к передаточной функции разомкнутой системы не зависит от передаточной функции объекта управления. При этом, как говорят, свойство селективной абсолютной инвариантности робастно. Селективная инвариантность до ε к задающему воздействию. Под селективной инвариантностью до ε понимается ограниченность установившейся ошибки воспроизведения задающих воздействий v(t) определенного вида. При такой форме инвариантности имеет место условие (23) где - некоторая постоянная.

Селективная инвариантность до ε к гармоническому задающему воздействию.

Для задающих воздействий, изображения которых содержат лишь простые полюсы q_k, условие селективной инвариантности до ε можно записать в виде (36)

Гармоническое задающее воздействие v(t)=v₀sinw_vt с изображением

и полюсами q_1,2=±jw_v как раз относится к таким воздействиям, поэтому условие (36) для гармонического задающего воздействия можно записать так: (37)

При этом мы учитываем, что в силу комплексной сопряженности выражений и , имеет место равенство | |=| |. Входящая в выражение (37) характеристика представляет собой АФХ для ошибки, которая определяется как , где | | - АЧХ для ошибки, - ФЧХ для ошибки. Как видим, условие селективной инвариантности до ε к гармоническому задающему воздействию выполняется, если значение АЧХ для ошибки ограничено на частоте задающего воздействия. В соответствии с физическим смыслом любой АЧХ звена (системы) АЧХ для ошибки определяет амплитуду ε₀ установившейся ошибки воспроизведения на гармоническое задающее воздействие (21), причем (38) Следовательно, при выполнении условия (37) амплитуда установившейся ошибки воспроизведения и отсюда сама установившаяся ошибка воспроизведения ограничены, т.е.

П ри построении систем автоматического управления требуется, чтобы амплитуда ε₀ установившейся ошибки воспроизведения балы не только ограниченной, но и достаточно малой величиной. Обычно это требование записывается в виде где - допустимая установившаяся ошибка воспроизведения, а определяет диапазон изменения частоты w_vгармонического задающего воздействия, другими словами, спектр задающего воздействия. Полагая, что максимальная величина v_макс амплитуды v₀ гармонического воздействия известна (v₀ v_макс), с помощью (38) и (33) получаем условие требуемой точности воспроизведения

гармонического задающего воздействия (40)

где - относительная допустимая ошибка воспроизведения. Чем меньше , тем выше точность работы системы управления при низкочастотных задающих воздействиях.

Вывод. Для обеспечения высокой точности работы системы в установившемся режиме надо, чтобы АЧХ для ошибки принимала как можно малые значения в диапазоне частот задающего воздействия. На рис. 7 показана АЧХ для ошибки, соответствующая типичной высокоточной системы управления.

Учитывая, что АФХ замкнутой системы Ф(jw) связана с АФХ для ошибки соотношением

, приходим к еще одному выводу: точность работы системы тем выше, чем ближе к единице значения АЧХ замкнутой системы в диапазоне частот задающего воздействия, т.е. если

Для системы с единичной обратной связью (41)

где - АФХ разомкнутой системы, условие требуемой точности воспроизведения гармонического задающего воздействия можно представить в виде (42)

Здесь учитываем, что при выполнении условия (42) АЧХ разомкнутой системы достигает весьма больших значений в диапазоне частот задающего воздействия, т.е. (43)

П рименительно к ЛАЧХ разомкнутой системы L(w)=20lg|W(jw)| условие (42) требуемой точности воспроизведения гармонического задающего воздействия имеет вид . (44) Значение определяет нижнюю допустимую границу для ЛАЧХ разомкнутой системы в диапазоне частот задающего воздействия (рис. 8).

Если ЛАЧХ L(w) проходит ниже допустимой границы, система не удовлетворяет требованиям, предъявленным к точности ее работы в установившемся режиме.