4,Ошибка воспроизведения.

Установившееся значение ошибки воспроизведения в ряде случаев определяется с помощью известной в операционном исчислении теоремы о конечном значении, которая применительно к данному случаю может быть записана в видеε_уст= (8)

Преобразование Лапласа ε(р) ошибки легко найти, если известны преобразование Лапласа v(р) входного сигнала и передаточная функция для ошибки Ф_ε(р), связанная с передаточной функцией Ф(р) замкнутой системы соотношением

Ф_ε(р)=1-Ф(р) (9)Действительно, согласно (4)ε(р)=Ф_ε(р)v(p)(10)

Принимая во внимание существующую связь между передаточными функциями замкнутой Ф(р) и разомкнутой W(р) системФ(р)=W(p)/(1+W(p)),а также, что _,на основании (9) имеемФ_ε(р)=

Передаточная функция по ошибке называется также функцией чувствительности.

Следовательно, (11)

Учитывая, что W₀(p) обладает свойством W₀(0)=1 получаем (12)

Выражение (12) имеет смысл, если ε(t) стремится к определенному пределу при t→∞. В противном случае выражение (8) неприменимо. Рассмотрим от каких факторов зависит ошибка ε_уст при типовых входных сигналах, для которых вышеуказанное требование соблюдается.

Входной сигнал – ступенчатая функция v(t)=a₀1(t).

Операторное выражение такой функции v(p)=a₀/p. При этом (13)

Если ν=0 (система не содержит интегрирующих звеньев), то (14)

Следовательно, в такой системе, даже при постоянном входном сигнале, имеет место ошибка, называемая ошибкой по положению или статической ошибкой. Ошибка при известном а₀ определяется статизмом системы (15)

и она тем меньше, чем больше коэффициент усиления k.

Системы, обладающие статической ошибкой, называются статическими системами. Коэффициент усиления k статических систем является безразмерной величиной, так как величины а₀ и ε_уст имеют одинаковую размерность.

Отметим, что статическая ошибка, определяемая выражением (14), является принципиальной (методической) ошибкой и обусловлена принципом действия системы.

Если ν>1 (система содержит одно или несколько интегрирующих звеньев), то, как это видно из выражения (13), статическая ошибка равна нулю. Системы, обладающие нулевой статической ошибкой, называются астатическими системами. При этом величина ν, как говорят, определяет порядок астатизма системы.

Астатическую систему можно рассматривать как статическую систему с бесконечно большим коэффициентом усиления k. Действительно, наличие интегрирующих звеньев приводит к тому, что при постоянном входе сигнал на выходе разомкнутой системы с течением времени растет до бесконечности.

Входной сигнал v(t)=a₁t, изменяющийся с постоянной скоростью a₁.

В этом случае v(p)=a₁/p², а установившаяся ошибка

(16)

Если ν=0 (статическая система), то ε_уст=∞. Полученному результату легко дать объяснение, если учесть, что в установившемся режиме, т.е. при t→∞, на входе системы имеется бесконечно большой сигнал и поэтому при конечном коэффициенте усиления k, согласно (14), ошибка ε_уст равна бесконечности. Другими словами, данный случай можно рассматривать как предыдущий при v(t)=a₀, если положить a₀=∞.

Если ν=1 (система с астатизмом первого порядка), то

(17)

При этом ошибка ε_уст обратно пропорциональна коэффициенту усиления и носит название скоростной ошибки. Так как входной сигнал v и ошибка ε имеют одинаковую размерность, то коэффициент усиления системы с астатизмом первого порядка имеет размерность [сек^-1] и характеризует установившуюся скорость изменения выходной величины разомкнутой системы при постоянном входном сигнале.

Физический смысл полученного результата виден на примере простейшей следящей системы (рис. 1). Если на входе имеем сигнал v, изменяющийся с постоянной линейной скоростью a₁, то установившийся режим будет иметь место лишь в случае, когда выходная величина у будет изменяться с той же скоростью а₁.

Р ис. 1

Но для этого необходимо подвести к двигателю определенное напряжение U=a₁/K_дв, зависящее от коэффициента усиления двигателя К_дв. Это напряжение может появиться только при наличии сигнала ошибки ε_уст. Чем больше коэффициент усиления усилителя К_ус, а следовательно, и всей системы – К=К_усК_дв, тем меньшее значение ε_уст=а₁/К_ус требуется для вращения двигателя со скоростью, равной скорости изменения входного сигнала.

Используя выражение (17), по заданным значениям скорости а₁₀ и скоростной ошибки (ε_ск)_доп можно найти величину коэффициента усиления

(18)обеспечивающую требуемую точность воспроизведения сигнала v(t)=a₁₀t.

Если ν≥2 (система с порядком астатизма выше первого), то скоростная ошибка равна нулю.

Входной сигнал , изменяющийся с постоянным ускорением а₂.

Так как , то ошибка с учетом (12)

(19)

Если ν=0, 1, то установившаяся ошибка равна бесконечности. Если ν=2 (система с астатизмом второго порядка), то ошибка определяется выражением

(20)

и носит название ошибки по ускорению. Как видно их этого выражения, коэффициент усиления системы с астатизмом второго порядка имеет размерность [сек^-2].

Если ν≥3, то установившаяся ошибка равна нулю.

Таким образом, точность работы САУ при входных сигналах вида степенной функции

(20а) зависит только от порядка астатизма ν и коэффициента усиления k системы, причем, чем больше значения ν и k, тем меньше величина ошибки воспроизведения.

Формулу (12) для определения ошибки ε_уст удобно использовать, если входное воздействие представляет собой степенную функцию вида (20а). Однако на практике часто встречаются входные сигналы, которые меняются достаточно медленно по известному, а порой и неизвестному, законам. Обычно такие сигналы на некотором текущем интервале времени можно представить в виде ряда Тейлора. В этом случае удобно ввести понятие о коэффициентах ошибок, с помощью которых нетрудно найти установившуюся ошибку воспроизведения.