23 Понятие об устойчивости сау

Вопрос об устойчивости систем автоматического управления является основным в теории автоматического управления. Система автоматического управления состоит из объекта управления и управляющего устройства. Задачей управляющего устройства является поддержание системы в состоянии равновесия (т.е. в таком состоянии, при котором регулируемая величина – угол поворота, скорость, температура, напряжение и т.д. – сохраняет постоянное значение). Если система отклонилась от состояния равновесия (рабочей точки), то управляющее устройство вновь должно привести ее к этому состоянию. Поэтому проектирование системы начинается с определения тех состояний равновесия, которые система должна поддерживать.

Состояние равновесия нелинейной системы можно определить или аналитическим путем, решая нелинейное алгебраическое уравнение, соответствующее постоянству управляемой величины системы, или графоаналитическим путем, зная статические характеристики, связывающие выходные и входные величины всех элементов системы. Однако при таком определении всегда возникает вопрос: может ли физически существовать в системе найденное расчетным путем состояние равновесия? На простом примере легко показать, что найденные расчетным путем состояния равновесия не всегда могут существовать физически. Рассмотрим поверхность сложной формы, на которой находится шарик (рис. 1).

Р ис. 1

Нужно найти положение равновесия шарика на этой поверхности. На шарик действует сила ,

состоящая из двух составляющих, одна из которых F_N уравновешивается реакцией со стороны поверхности, другая вызывает движение шарика вниз. Состояние равновесия будет иметь место, если =0, т.е. в точках А и В, где касательная к поверхности горизонтальна.

Таким образом, теоретический расчет дает два состояния равновесия для данной системы. Но если подойти к рассмотрению вопроса с практической стороны, то сразу видно, что в точке А шарик находиться не может. Поэтому состояние равновесия , соответствующее точке А, называется неустойчивым.

Состояние равновесия в точке В является устойчивым. Это означает, что даное состояние физически осуществимо в системе. Дадим более строгие определения устойчивого и неустойчивого состояний равновесия.

Для суждения об устойчивости состояния равновесия необходимо вывести систему из этого состояния путем приложения внешнего возмущения и наблюдать характер свободного движения системы после прекращения действия этого возмущения.

Состояние равновесия системы автоматического управления будет устойчивым, если после устранения возмущающего воздействия система с течением времени вновь возвращается к этому состоянию. Состояние равновесия системы является неустойчивым, если после устранения возмущающего воздействия система продолжает удаляться от состояния равновесия.

Таким образом, аналитическое рассмотрение вопроса о равновесии системы может привести к нахождению неустойчивого состояния равновесия. Поэтому всегда необходимо проверить, будет ли найденное состояние равновесия устойчивым. Это первая задача теории устойчивости.

Величина отклонения от состояния равновесия определяет «устойчивость в малом» и «устойчивость в большом». Если анализ устойчивости системы проводится при малых отклонениях от состояния равновесия, то говорят об «устойчивости в малом». Если же анализируется поведение системы при больших отклонениях от состояния равновесия, то говорят об «устойчивости в большом».

При анализе линеаризованных или линейных систем автоматического управления, являющихся линейной моделью реальных нелинейных систем, справедливой при малых отклонениях от состояния равновесия, рассматривается вопрос об «устойчивости в малом». Эта линейная модель приемлема лишь для конкретного состояния равновесия. Поэтому в случае анализа линейных систем, по существу, исследуется «устойчивость в малом» лишь одного определенного состояния равновесия нелинейной системы, которое может быть или устойчивым, или неустойчивым. Следовательно, по отношению к линейной системе удобнее говорить просто об ее устойчивости или неустойчивости, не затрагивая вопроса о состоянии равновесия. Рассмотрим условия устойчивости линейных систем.