16. Вычисление коэффициентов ошибок с помощью передаточной функции по ошибке. Пример.

Пусть входной сигнал v(t) меняется настолько медленно, что на текущем интервале времени, соизмеримом с длительностью переходного процесса в системе (речь идет о практической длительности переходного процесса t_р), он может быть с достаточной степенью точности представлен в виде полинома степени r

(21) где a_i=v⁽ⁱ⁾(t) – i-ая производная сигнала v(t). Если известна весовая функция замкнутой системы k(t), то значение выходного сигнала определяется интегралом свертки

Если момент приложения входного сигнала достаточно удален от текущего момента времени, т.е. t₀= - ∞, то в системе к интересующему нас моменту t≥0 переходный процесс уже наверняка закончится, так что будет иметь место установившийся процесс, который определяется выражением , отсюда . (22)

Вводя обозначение (23) получаем другое выражение для выходной величины

.(24) Величины , определяемые согласно (23), называются моментами весовой функции. При этом установившаяся ошибка . (25)

Обозначая , (26)

получаем . (27)

Входящие в выражение (27) коэффициенты C_i получили название коэффициентов ошибок.

Если известны значения производных входного сигнала, то по формуле (27) легко вычислить установившуюся ошибку. При этом система будет тем точнее, чем меньше величины коэффициентов ошибок. Следовательно, коэффициенты ошибок можно рассматривать как показатели качества системы при медленно меняющихся воздействиях.

Для определения коэффициентов ошибок удобно выражать моменты весовой функции , i=0,1,2,… непосредственно через передаточную функцию системы Ф(р). По определению . Дифференцируя это выражение i раз по р, получим

. Положив в этом выражении р=0, получим . (28) Сравнивая выражения (28) и (23) , находим (29) или =Ф₀(0), , , … Вычисление величин непосредственно по формуле (29) связано с громоздкими выкладками. Эти выкладки значительно упрощаются, если представить передаточную функцию Ф(р) в виде отношения двух многочленов Ф(р)=К(р)/Д(р) или Ф(р)Д(р)=К(р), (30) где

Разложим функцию Ф(р) в ряд Маклорена в окрестности точки р=0. Учитывая выражение (29), получим

Выражение (30) при этом принимает вид

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, например при рⁱ в правой и левой частях этого выражения, получим или

. (31) Полученная формула является рекуррентной и позволяет последовательно вычислять коэффициенты . Для нескольких первых коэффициентов получаются следующие формулы , , . Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы определяется выражением W(p)=k/p(Tp+1), а входной сигнал изменяется по закону v(t)=arctgαt. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид . Следовательно, К(р)=k, Д(р)=k+р+Тр² _. Отсюда m=1, n=2, a₂=k, a₁=1, a₀=T, b₀=k, b₁=0. В соответствии с формулами (32) определяем моменты весовой функции

, , … Учитывая выражение (26) , находим коэффициенты ошибок .

Так как , то, ограничившись учетом первых двух слагаемых ошибки, получаем Графики изменения входного сигнала и ошибки приведены на рис.2. При t=0 ошибка Рис. 2. достигает максимального значения, равного α/k.

Заметим, что коэффициенты ошибок представляют собой коэффициенты разложения передаточной функции по ошибке Ф_ε(р) в ряд Маклорена в окрестности точки р=0. Действительно, передаточная функция по ошибке связана с передаточной функцией замкнутой системы

Соотношением Ф_ε(р)=1-Ф(р) Учитывая, что коэффициенты ошибок определяются через моменты весовой функции согласно (26) как , получаем , (33) что и требовалось показать. Следовательно, коэффициенты ошибок можно найти по формуле (34)