тау__Irus

Операторная (символическая) форма записи уравнения элемента

Обозначая ради простоты записи , представим уравнение (*)

Вводя операторные обозначения для производных входа и выхода, и затем вынося y и v за скобку, получаем операторную форму уравнения линейного звена в компактном виде

или еще короче , (2)

где входной оператор

и выходной оператор

представляют собой операторные многочлены.

Напомним, что преобразованием Лапласа функции x(t) (ее изображением) называется интеграл

, где x(t) при t<0, - комплексная переменная.

В символическом виде функция x(p) записывается как

x(p)=L[x(t)],

где L – символ преобразования Лапласа. По заданной x(p) может быть однозначно восстановлена функция x(t), называемая в этом случае оригиналом x(p). Эта операция в символическом виде записывается как

, где оператор - символ обратного преобразования Лапласа.

Использование преобразования Лапласа для решения ДУ основывается, прежде всего, на теореме об изображении производной, согласно которой

L[Dx(t)]=px(p),

если х(0)=0. Из последнего выражения следует, что

при и также, что

, i>0,

если . Часто эти начальные условия обозначают с аргументом -0 и называют предначальными условиями. С учетом (*) и теоремы линейности преобразование Лапласа от произведения A(D)y(t), где A(D)= представляет собой операторный многочлен, определяется как

L[A(D)x(t)]=A(p)x(p), (**)

если .

Найдем преобразование Лапласа от уравнения (2):

L[Д(D)y(t)]=L[K(D)v(t)].

Используя (**), находим уравнение звена в изображениях

Д(p)y(p)=K(p)V(p), (5)

где y(p)=L[y(t)] – преобразование Лапласа от выхода, а v(p)=L[v(t)] – преобразование Лапласа от входа.

Уравнение (5) имеет место, если выполняются следующие условия:

2) .

Заметим, что условие 1) всегда выполняется, т.к. v(t)=0, t<0, а условие 2) выполняется не всегда.

Если условия 1) и 2) выполняются, то звено предварительно невозбуждено (находится в покое до подачи входного воздействия).

Если условия 2) не выполняются, то звено называется предварительно возбужденным.

Уравнение (5) – алгебраическое уравнение, т.к. K(p) и Д(р) – алгебраические многочлены. Поэтому деление на Д(р) имеет обычный математический смысл, так что

Принимая во внимание уравнение (4), изображение выхода можно записать как

y(p)=W(p)v(p), (6)

где W(p) – передаточная функция (ПФ) звена, определяемая выражением

W(p)=K(p)/Д(p) (7)

или выражением

W(p)=y(p)/v(p). (8)

Определение: ПФ звена – это отношение преобразований Лапласа выходного и входного сигнала предварительно невозбужденного звена.

Условие физической осуществимости звена имеет вид:

или .

Неполнота описания вход-выход с помощью ПФ заключается в следующем:

ПФ описывает свойства предварительно невозбужденного звена. Поэтому нельзя найти полное решение уравнения (1), а только при нулевых начальных условиях.
Исходное уравнение звена можно восстановить по ПФ, используя выражение

и применяя затем обратное преобразование Лапласа, если многочлены К(р) и Д(р) не содержат одинаковых сомножителей. Только в этом случае знаменатель ПФ Д(р) называют характеристическим многочленом звена.

Если К(р), Д(р) содержат общие сомножители, то Д(р) не равен знаменателю вырожденной, т.е получаемой после сокращения ПФ.

Пример. Пусть звено описывается уравнением и входной сигнал v(t)=t. Известны начальные условия у(0) и . Тогда решение уравнения определяется выражением

где С₁ и С₂ находятся с помощью начальных условий.

Найдем ПФ звена. С этой целью преобразуем по Лапласу уравнение звена:

Характеристический многочлен звена равен

При нулевых начальных условиях получаем уравнение в изображениях

Отсюда ПФ звена после сокращения числителя и знаменателя на общий сомножитель принимает вид вырожденной ПФ:

По вырожденной ПФ восстановленные уравнения и не совпадают с исходными уравнениями.

Решая последнее уравнение при v(t)=t, мы получим .

Решения исходного и восстановленного уравнений будут совпадать только при нулевых н.у. Знаменатель ПФ не равен характеристическому многочлену, т.е.

Содержание