Вычисление коэффициентов ошибок с помощью пф по ошибке

Для определения коэффициентов ошибок удобно выражать моменты весовой функции , i=0,1,2,… непосредственно через передаточную функцию замкнутой системы Ф(р). По определению

, Где Дифференцируя это выражение i раз по р, получим

Положив в этом выражении р=0, получим (28) Сравнивая выражения (28) и (23) , находим или =Ф₀(0), , , …

Учитывая (26) и принимая во внимание, что ПФ по ошибке в соответствии с (9) Ф_ε(р)=1 - Ф(р), получаем

=- , i=1,2,…,r, cследовательно, (29)

Вычисление величин C_i непосредственно по формуле (29) связано с громоздкими выкладками. Эти выкладки значительно упрощаются, если представить передаточную функцию Ф_ε(р) в виде отношения двух многочленов

Ф_ε(р) =D(р)/Д(р) или Ф_ε(р) Д(р)=D(р), (30) где

представляют знаменатели передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы соответственно.

Разложим функцию Ф_ε(р) в ряд Маклорена в окрестности точки р=0. Учитывая выражение (29), получим

(30a) Выражение (30) при этом принимает вид

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, например при рⁱ в правой и левой частях этого выражения, получим

или (31)

Полученная формула является рекуррентной и позволяет последовательно вычислять коэффициенты . Для нескольких первых коэффициентов получаются следующие формулы

, , . (32)

Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы определяется выражением W(p)=k/p(Tp+1), а входной сигнал изменяется по закону v(t)=arctgαt.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

. Следовательно, D(р)=p+Tp², Д(р)=k+р+Тр² _. Отсюда

n=2, a₂=k, a₁=1, a₀=T, d₂ =0, d₁ =1, d₀=T. В соответствии с формулами (32) определяем коэффициенты ошибок , , …

Так как , то, ограничившись учетом первых двух слагаемых ошибки, получаем

Графики изменения входного сигнала и ошибки приведены на рис. 2. При t=0 ошибка достигает максимального значения, равного α/k.

Рис. 2.