42. Линеаризация математической модели бака с жидкостью.

м ожно исследовать процесс линеаризации объекта управления в виде бака с жидкостью, описываемого нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка

Обозначим через q, [ ] –расход поступающей в бак жидкости (скорость поступления), g(h)= , [ ]– расход вытекающей жидкости (скорость вытекания). Тогда изменение объема жидкости в баке за малый промежуток времени составит . Это приведет к такому же изменению объема жидкости в баке , выраженному посредством изменения уровня жидкости и площади поперечного сечения бака S[ ]. В соответствии с законом сохранения вещества имеем или . Считая площадь поперечного сечения бака равной единице и устремляя , получаем модель бака в виде нелинейного дифференциального уравнения первого порядка

или

.

Здесь выход h, [м] - уровень жидкости в баке, c, [ ] - постоянная. Полагая , находим уравнение статики или . Последнее уравнение описывает статическую характеристику бака (см. рисунок ниже).

Определяя c учетом уравнения бака и уравнения (6) коэффициенты

находим линеаризованное уравнение бака

или

где k=T- коэффициент усиления линейного элемента. Если то определяет уравнение статики для линеаризованного бака. Из рисунка выше видно, что оно аппроксимирует достаточно хорошо статическую характеристику нелинейного элемента при достаточно малых отклонениях от состояния равновесия. Также отметим, что значение k, , следовательно, значение T, [с] зависят от положения рабочей точки. Это говорит о том, что линеаризованная модель отражает существенные свойства нелинейного элемента.