6. Селективная инвариантность до при гармоническом задающем воздействии.

Для задающих воздействий, изображения которых содержат лишь простые полюсы q_k , условие селективной инвариантности до ε можно записать в виде (55)

Гармоническое задающее воздействие v(t)=v₀sin _vt с изображением

и полюсами q_1,2=±j _v как раз относится к таким воздействиям, поэтому условие (55) для гармонического задающего воздействия можно записать так: . (56)

При этом мы учитываем, что в силу комплексной сопряженности выражений и , имеет место равенство | |=| |.

Входящая в выражение (56) характеристика представляет собой АФХ для ошибки, которая определяется как , где | | - АЧХ для ошибки, - ФЧХ для ошибки.

Как видим, условие селективной инвариантности до ε по отношению к гармоническому задающему воздействию выполняется, если значение АЧХ для ошибки ограничено на частоте задающего воздействия.

В соответствии с физическим смыслом любой АЧХ звена (системы) АЧХ для ошибки определяет амплитуду ε₀ установившейся ошибки воспроизведения

гармонического задающего воздействия (21), причем (57)

Следовательно, при выполнении условия (57) амплитуда установившейся ошибки воспроизведения и отсюда сама установившаяся ошибка воспроизведения ограничены, т.е. .

При построении систем автоматического управления требуется, чтобы амплитуда ε₀ установившейся ошибки воспроизведения была не только ограниченной, но и достаточно малой величиной. Обычно это требование записывается в виде , (58)

где - допустимая установившаяся ошибка воспроизведения, а определяет диапазон изменения частоты _v гармонического задающего воздействия, другими словами, спектр задающего воздействия.

Полагая, что максимальная величина v_макс амплитуды v₀ гармонического воздействия известна (v₀ v_макс), с помощью (57) и (58) получаем условие требуемой точности воспроизведения гармонического задающего воздействия

,(59)

где - относительная допустимая ошибка воспроизведения. Чем меньше , тем выше точность работы системы управления при низкочастотных задающих воздействиях.

Вывод. Для обеспечения высокой точности работы системы в установившемся режиме надо, чтобы АЧХ для ошибки (модуль функции чувствительности) принимала как можно малые значения в диапазоне частот задающего воздействия. На рис. 7 показана АЧХ для ошибки, соответствующая типичной высокоточной системы управления.

Учитывая, что АФХ замкнутой системы Ф(j ) связана с АФХ для ошибки соотношением

,

приходим к еще одному выводу: точность работы системы тем выше, чем ближе к единице значения АЧХ замкнутой системы в диапазоне частот задающего воздействия, т.е. если .

Для системы с единичной обратной связью , (60)

где - АФХ разомкнутой системы, условие требуемой точности воспроизведения гармонического задающего воздействия можно представить в виде . (61)

Здесь учитываем, что при выполнении условия (61) АЧХ разомкнутой системы достигает весьма больших значений в диапазоне частот задающего воздействия, т.е. . (62)

Применительно к ЛАЧХ разомкнутой системы L( )=20lg|W(j )|

условие (61) требуемой точности воспроизведения гармонического задающего воздействия имеет вид

. (63)

Значение определяет нижнюю допустимую границу для ЛАЧХ разомкнутой системы в диапазоне частот задающего воздействия (рис. 8).

Если ЛАЧХ L( ) проходит ниже допустимой границы, система не удовлетворяет требованиям, предъявленным к точности ее работы в установившемся режиме.