40. Критерий Найквиста для случая устойчивой разомкнутой системы. Критический коэффициент усиления.

Сущность критерия Найквиста в том, что он позволяет по виду АФХ разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы. При этом АФХ разомкнутой системы может быть или получена расчетным путем из выражения для передаточной функции, или снята экспериментально. Пусть передаточная функция разомкнутой системы , так что АФХ равна . Рассмотрим новую функцию f(jω), связанную с соотношением . (14)

Здесь представляет собой годограф характеристического уравнения разомкнутой системы, а Д(jω) – замкнутой системы.

Критерий устойчивости рассмотрим для нескольких случаев.

a) Разомкнутая система устойчива. Устойчивость разомкнутой системы можно установить без всяких вычислений по структурной схеме системы. Так, например, разомкнутая система, состоящая из устойчивых звеньев и не содержащая обратных связей, всегда устойчива. Если имеются звенья, содержащие обратную связь, то эти звенья надо исследовать особо. Если разомкнутая система устойчива, то на основании критерия Михайлова изменение аргумента будет равно

, где n – степень характеристического уравнения разомкнутой системы, совпадающая со степенью характеристического многочлена замкнутой системы Д(р)=D(р)+К(р), т.к. для строго физически осуществимых систем степень К(р) меньше степени D(р). Изменение аргумента Д(jω) в общем случае равно

, где q – число корней характеристического уравнения Д(р)=0, лежащих в правой части комплексной плоскости, т.е. число правых корней.

Изменение аргумента f(jω) равно разности изменений аргументов числителя Д(jω) и знаменателя D(jω), т.е. .

Замкнутая система устойчива, если q=0, т.е. когда .

Если представить годограф f(jω) на комплексной плоскости (рис. 9), то нетрудно установить, что вектор f(jω) при изменении ω от 0 до ∞ опишет на комплексной плоскости угол, равный нулю, лишь в том случае, если годограф f(jω) не охватывает начала координат. В этом случае замкнутая система устойчива.

Рис. 9 Рис. 10

От годографа f(jω) нетрудно перейти к АФХ разомкнутой системы (рис. 10).

W(jω)=f(jω) - 1, которая представляет собой ту же кривую , но сдвинутую на единицу влево. При этом изменение аргумента при изменении ω от 0 до ∞ будет равно нулю, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1,j0) (рис. 10).

Следовательно, если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система будет также устойчива, при условии, что АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1, j0).

Особо следует выделить случай, когда АФХ проходит через точку (-1, j0) и поэтому находится на колебательной границе устойчивости. Такому положению АФХ соответствует критический, или предельный коэффициент усиления k_кр.

Запас устойчивости по амплитуде определяется как число, на которое должен быть умножен коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Таким образом, если коэффициент усиления устойчивой системы равен k и запас устойчивости определяется значением 1/h(величина 1/h, обратную расстоянию h от этой точки пересечения до начала координат), то критический коэффициент усиления k_кр находится как

k_кр = k*1/h.

Применительно к диаграмме Найквиста этот критерий звучит так: если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система будет также устойчива, при условии, что диаграмма Найквиста не охватывает точку

(-1, j0) (Рис. 10.1).

Рис. 10.1