35. Уравнение звена в символической форме.

Уравнение звена, полученное в результате линеаризации

(*),

где и - отклонения выхода и входа относительно состояния равновесия (рабочей точки), записывают в различном формате.

Введем в рассмотрение оператор дифференцирования , обладающий тем свойством, что его умножение на любую функцию x(t) = дифференцированию этой функции по времени: .

Для любого целого .

Обозначая ради простоты записи , представим уравнение (*) так:

(1),

тогда вводя операторные обозначения для производных входа и выхода, и затем вынося y и v за скобку, получаем операторную форму уравнения линейного звена в компактном виде

или еще короче (2), где

входной оператор

и выходной оператор

п редставляют собой операторные многочлены.

Пример. Рассмотрим вращающийся вал.

Введем следующие обозначения:

- скорость вращения вала, M(t) – суммарный момент, приложенный к валу. Пусть v(t) ~ M(t) - вход, а ~ y(t) – выход элемента.

Уравнение вала на основании второго закона механики (закона Ньютона) имеет вид: , где J – момент инерции вала. Заменяя на D , получаем уравнение вала в операторной форме .

Последнее уравнение представляет частный случай уравнения (2) для m=0, n=1.

Как видим, выходной оператор Д(D)=JD, а входной K(D)=1.

Очевидно, что уравнение элемента зависит от того, какие сигналы принимаются в качестве выхода и входа. Так, если момент вращения - входной сигнал, то, полагая, что ,

где - момент вязкого трения, h - коэффициент вязкого трения, то уравнение вала принимает другой вид или .

Отсюда Д(D)=JD+h, K(D)=1.

Наряду с операторной записью ДУ (1) в виде (2) будем использовать еще более компактную форму:

или y(t)=W(D)v(t) (3), где W(D) называется операторной передаточной функцией (ОПФ) или оператором звена.

Формально W(D) можно рассматривать как отношение двух многочленов от D: W(D)=K(D)/Д(D) (4) ,

которое условимся записывать, не производя никаких возможных сокращений. Запись (4) является символической и не дает решения ДУ (2), т.к. не определено, какой смысл имеет деление на операторный многочлен Д(D).