logo search
тау__Irus

27. Относительная устойчивость.

Однако «просто» устойчивости системы еще недостаточно для ее работоспособности. Есть 2 причины, которые заставляют ввести понятие относительной устойчивости. 1я причина заключается в том, что система, кроме всего прочего, должна иметь приемлемые временные характеристики. 2я причина кроется в том, что система должна быть робастной, т.е. должна сохранять свои свойства при неопределенности и изменчивости модели, используемой для определения устойчивости. Модель системы никогда не является точной. Следовательно, использование модели может показать, что система является устойчивой, тогда как на самом деле реальная система окажется неустойчивой.

Если АФХ разомкнутой системы пересекает критическую точку (-1,j0), то замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости, по сути дела, является неустойчивой. При этом в системе спустя некоторое время после включения наблюдаются незатухающие колебания. Чем дальше проходит АФХ системы справа от критической точки, то очевидно меньше ее (системы) колебательность, т.е. менее колебательной является ее реакция, или, как говорят, больше ее относительная устойчивость. О степени относительной устойчивости, другими словами, о степени удаленности АФХ разомкнутой системы относительно критической точки принято судить с помощью так называемых запасов устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде (модулю) характеризует расстояние между критической точкой (-1,j0) и ближайшими точками пересечения характеристики W(j) с вещественной осью.

Е сли точка пересечения располагается справа от критической точки, то в качестве запаса устойчивости по амплитуде принимают величину 1/h, обратную расстоянию h от этой точки пересечения до начала координат (рис. 15), где h =R( )=|W(j )|. Здесь частота, при которой АФХ разомкнутой системы пересекает отрицательную вещественную ось, другими словами, частота, при которой ФЧХ системы достигает значения, равного - , т.е.

=argW(j )= =- .

Запас устойчивости по амплитуде определяется как число, на которое должен быть умножен коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Таким образом, если коэффициент усиления устойчивой системы равен k и запас устойчивости определяется значением 1/h, то критический коэффициент усиления kкр находится как kкр = k*1/h.

Одного запаса устойчивости по амплитуде недостаточно, чтобы судить о степени устойчивости системы. Действительно, запас устойчивости может быть достаточно большим, даже бесконечным, однако АФХ разомкнутой системы может проходить в непосредственной близости от критической точки. Поэтому

вводится еще один запас устойчивости.

Запас устойчивости по фазе определяется следующим образом. На комплексной плоскости U, jV проводится окружность единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 15) и отмечается точка ее пересечения с характеристикой W(j). Угол γ, образуемый проходящим через эту точку радиусом (лучом) и отрицательной частью вещественной оси, называется запасом устойчивости по фазе. Так как частота, при которой АФХ пересекает окружность единичного радиуса, есть частота среза , то формально можно определить запас устойчивости по фазе как ,

где есть значение фазо-частотной характеристики разомкнутой системы при частоте среза. Физически запас по фазе определяется наименьшей величиной угла, на который надо повернуть АФХ, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости.

В еличина , где определяет наименьшее расстояние от АФХ разомкнутой системы до критической точки (-1,j0).

Рекомендуемое значение лежит между 1,2 и 2.

Для того чтобы определить запасы устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам, рассмотрим вид логарифмических частотных характеристик, соответствующих устойчивой и неустойчивой системам.

28 Свойства функции чувствительности. Эффект «водяной кровати». Как следует из предыдущего параграфа, чем меньше модуль функции чувствительности, тем меньшее влияние оказывают малые изменения в ПФ разомкнутой системы W(p) на свойства замкнутой системы. Напомним, что в отсутствие шума измерений полная ошибка воспроизведения , где - функция чувствительности. Следовательно, чтобы иметь хорошее качество, мы должны обеспечить |W( )| >>1. Однако, АФХ строго физически осуществимой разомкнутой системы W( )= будет стремиться к нулю на высоких частотах, так что S при

Это означает, что невозможно иметь низкую чувствительность, следовательно, также хорошо отслеживать задающее воздействие и уменьшать влияние возмущения f на произвольно высоких частотах. Фактически ситуация даже еще более сложная, так как аналитическая структура W(p) ограничивает вид |S( )|. В зависимости от расположения полюсов и нулей W(p) (в особенности, от числа правых нулей и полюсов) существует несколько ограничений на S. Чтобы дать представление о самом простом из них, изначально полученным Боде, допустим, что W(p) не имеет ни правых полюсов, ни правых нулей (т.е. разомкнутая система является устойчивой и минимально-фазовой), и пусть относительная степень W(p) (разность между числом полюсов и нулей) равна 2 (т.е. |W( )| при , если )). Тогда можно показать, что

. (*)

Это означает, что на логарифмическом для S и линейном для графике |S( )| площадь, лежащая ниже нуля (|S( )|<1) , должна быть уравновешена равной площадью, лежащей выше нуля (|S( )|>|1). Это иллюстрировано на рис. ниже.

Если |S( )|<1 замкнутая система уменьшает чувствительность к возмущениям и к изменению параметров и таким образом замкнутая система становится более «робастной». Если |S( )|>1, то замкнутая система фактически усиливает возмущения и система становится более «чувствительной». Уравнение (*) влечет за собой как бы «консервацию (сохранение) чувствительности».

В результате система диапазонами частот, где она робастна к возмущениям и к изменению параметров, «расплачивается» диапазонами частот, где она чувствительна к возмущениям и изменению параметров.

В этом проявляется так называемый эффект «водяного матраса (водяной кровати)»: уменьшение |S( )| на некоторых частотах (давление на водяной матрас в каком-то месте) приводит к повышению |S( )| на других частотах (поднятию поверхности матраса в других местах). Как следствие, увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы будет увеличивать диапазон частот, в котором влияние возмущений будет ослаблено, но в то же время приведет к повышению чувствительности на высоких частотах (см. рисунок ниже).

Здесь ПФ разомкнутой системы определяется как

.

При неустойчивых полюсах в W(p) интеграл (*) изменяется на

,

что делает еще более сложной проблему уменьшения чувствительности. Чем «быстрее» неустойчивые полюсы (чем дальше удалены от мнимой оси), тем проблема становится еще более сложной. Фактически это обстоятельство может быть использовано как аргумент, почему в общем случае следует избегать неустойчивых управляющих устройств (регуляторов).

29.Типовые динамические звенья и их характеристики. Колебательное звено.

Типовые (линейные) динамические звенья и их характеристики.

Звено - фактически математическая модель элемента, следовательно, элементы, имеющие общие по виду математические модели составляют один класс звеньев. В общем виде звено обычно описывается математической моделью

, (*)

v – вход, y – выход, - const, D – оператор дифференцирования. Среди всех звеньев выделяют наиболее простые (типовые) звенья. Типовые звенья – звенья, описываемые уравнениями не выше 2-го порядка, n≤2 (фактически и m≤2), n – порядок звена.

Колебательноезвено

  1. Уравнение и передаточнаяфункция

Звено 2-ого порядка при n=2, m=0:

Пусть >0, >0, >0. Приводим к стандартному виду (делим на ).

, где - постоянная времени.

Если , а .

Если >1, то звено наз апериодическим звеном 2-ого порядка. =0 – консервативное звено. 0< <1 – колебательное звено. - относительный коэффициент затухания.

- коэффициент усиления звена 2-ого порядка.

Иногда уравнение звена 2-ого порядка записывают:

, где - частота собственных колебаний.

Уравнение колебательного звена в изображениях после преобразования Лапласа:

или

- ПФ колебательногозвена (0< <1)

  1. Временныехарактеристики.

Весовая функция w(t)= L-1[W(p)]. Используя таблицу преобразования

Переходная характеристика: h(t)= L-1[W(p)/p]

, =arccos

Вид переходной характеристики целиком определяется . Если уменьшается , тем более колеб. Характеристик носят реакции звена на L(t). =0 – незатухающееколебание.

t

>

Колебательность звена также характеризуется max выбросом h(t) относительно установившегося значения hуст=h(∞)=h

- максимальный выброс

- относительный максимальный выброс целиком определяется

Для САУ вводится понятие “перерегулирования” – это относительный максимальный выброс, выраженный в процентах.

Если САУ описывается моделью в виде колебательного звена, легко определить перерегулирование. При =0 переходная характеристика незатухающего колебания с частотой , амплитудой k и постоянно составляющей k(консервативное звено) кол-во энергии остается неизменным, переходит их одного вида в другое.

в)Частотные характеристики звена

АФХ: .

Годограф

U

Здесь > .

АЧХ:

ФЧХ:

.

АЧХ колебательного звена имеет следующий вид

Здесь > .

Для АЧХ характерно наличие резонанса (пик на резонансной частоте, а потом спад до нуля), т.е. колебательное звено тоже ФНЧ (фильтр низких частот).

(max значение АЧХ).

Резонансная частота .

Резонанс имеет место, только если <0,707.

О колебательности звена можно судить по относительному максимуму .

Величина относительного пика тем выше, чем меньше . Для САУ этот пик называется показателем колебательности.

Частота определяет полосу пропускания на уровне 0,707k: .

Если 0,3 ≤ ≤ 0,8, то / =-1,9 +1.85.

Частота определяет полосу пропускания на уровне R( )=k:

. Чем меньше , тем ближе к 1/T и тем больше .

ЛАЧХ: .

Строят для 0,3 ≤ ≤ 0,8 асимптотическую ЛАЧХ, определяемую выражением:

=1/T – сопрягающаяся частота. Наклон = -40дБ/дек,

где =lg .

ЛФЧХ колебательного звена

,

построенная в логарифмическом масштабе частот. - относительный коэффициент затухания.