тау__Irus

2) Уравнение звена в изображениях. Передаточная функция звена (пф)

Напомним, что преобразованием Лапласа функции x(t) (ее изображением) называется интеграл

, где x(t) при t<0, - комплексная переменная.

В символическом виде функция x(p) записывается как x(p)=L[x(t)], где L – символ преобразования Лапласа. По заданной x(p) может быть однозначно восстановлена функция x(t), называемая в этом случае оригиналом x(p). Эта операция в символическом виде записывается как , где оператор - символ обратного преобразования Лапласа. Использование преобразования Лапласа для решения ДУ основывается, прежде всего, на теореме об изображении производной, согласно которой L[Dx(t)]=px(p), если х(0)=0. Из последнего выражения следует, что при и также, что , i>0, если . Часто эти начальные условия обозначают с аргументом -0 и называют предначальными условиями. С учетом (*) и теоремы линейности преобразование Лапласа от произведения A(D)y(t), где A(D)= представляет собой операторный многочлен, определяется как L[A(D)x(t)]=A(p)x(p)(**) если .

Найдем преобразование Лапласа от уравнения (2): L[Д(D)y(t)]=L[K(D)v(t)]. Используя (**), находим уравнение звена в изображениях Д(p)y(p)=K(p)V(p),(5) где y(p)=L[y(t)] – преобразование Лапласа от выхода, а v(p)=L[v(t)] – преобразование Лапласа от входа. Уравнение (5) имеет место, если выполняются следующие условия: 1) и 2) .

Заметим, что условие 1) всегда выполняется, т.к. v(t)=0, t<0, а условие 2) выполняется не всегда.

Если условия 1) и 2) выполняются, то звено предварительно невозбуждено (находится в покое до подачи входного воздействия). Если условия 2) не выполняются, то звено называется предварительно возбужденным. Уравнение (5) – алгебраическое уравнение, т.к. K(p) и Д(р) – алгебраические многочлены. Поэтому деление на Д(р) имеет обычный математический смысл, так что

Принимая во внимание уравнение (4), изображение выхода можно записать как y(p)=W(p)v(p)(6), где W(p) – передаточная функция (ПФ) звена, определяемая выражением W(p)=K(p)/Д(p)(7), или выражением W(p)=y(p)/v(p)(8).

Определение: ПФ звена – это отношение преобразований Лапласа выходного и входного сигнала предварительно невозбужденного звена. Условие физической осуществимости звена имеет вид: или . Неполнота описания вход-выход с помощью ПФ заключается в следующем:

ПФ описывает свойства предварительно невозбужденного звена. Поэтому нельзя найти полное решение уравнения (1), а только при нулевых начальных условиях.
Исходное уравнение звена можно восстановить по ПФ, используя выражение

и применяя затем обратное преобразование Лапласа, если многочлены К(р) и Д(р) не содержат одинаковых сомножителей. Только в этом случае знаменатель ПФ Д(р) называют характеристическим многочленом звена.

Если К(р), Д(р) содержат общие сомножители, то Д(р) не равен знаменателю вырожденной, т.е получаемой после сокращения ПФ.

Временные характеристики звена. Различают два вида временных характеристик.

Весовая функция. Введем понятие весовой функции звена. Для этого запишем выражения для изображения выхода предварительно невозбужденного звена y(p)=W(p)v(p). Здесь W(p)=L[ (t)] и v(p)=L[v(t)] – преобразования Лапласа от функций времени. Используем теорему об изображении интеграла свертки, согласно которой . Здесь (t)=L [W(p)] – весовая функция звена . Учитывая, что y(t)=L [y(p)], определяем реакцию звена на произвольное входное воздействие v(t) как интеграл свертки (9), весовой функции и входного воздействия. Выражение (9) раскрывает математический смысл выражения y(t)=W(D)v(t). Действие оператора W(D) сводится к умножению на и интегрированию полученного произведения в пределах от 0 до t. Выясним физический смысл весовой функции. Подадим на вход предварительно невозбужденного звена - функцию (функциюДирака), т.е. положим . Учитывая, что , получаем y(p)=W(p). Отсюда . Вывод. Физический смысл весовой функции состоит в том, что она является реакцией предварительно невозбужденного звена на -функцию. Переходной характеристикой h(t) называется реакция предварительно невозбужденного звена на единичную ступенчатую функцию (Хевисайда) 1(t).

Е сли , то y(t)=h(t) – переходная характеристика. Графическое изображение единичной ступенчатой функции приведено на рис. Заменяя v(t) на 1(t) в (9) и учитывая, что , получаем выражение ,связывающее переходную характеристику и весовую функцию звена. Отсюда . Часто задана W(p) и требуется найти весовую функцию и переходную характеристику, используя выражения w(t) = L [W(p)], h(t) = L [W(p)/p]. В MATLAB процедуры impuls(W), step(W).

Вывод. Уравнение линейного звена в операторной форме Д(D)y(t)=K(D)v(t)

можно представить такими математическими моделями:

a) Параметрические модели W(D) – операторная ПФ (оператор) звена, W(p) – ПФ;

б) Временные характеристики - весовая функция ,h(t) – переходная характеристика.

Зная одну из этих моделей, можно найти все другие.

Заметим, что модель звена с точностью до постоянной можно представить с помощью диаграммы (карты) нулей и полюсов ПФ W(p), изображенных в виде точек на комплексной плоскости p .

Важными частотными характеристиками звена являются частотные характеристики, которые определяют взаимосвязь между параметрами гармонических сигналов на входе и выходе в установившемся (вынужденном) режиме. Основная частотная характеристика – амплитудно-фазовая характеристика (АФХ). Ее выражение получают заменой p на в ПФ W(p): . Выражение для АФХ - функция комплексной переменной. Поэтому это выражение можно представить в показательной и алгебраической формах: . При этом получаем еще 4 частотных характеристики: Амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) звена R( )=mod W(j )=|W(j )|.

Фазо-частотную характеристику (ФЧХ) звена .

Вещественную частотную характеристику звена U( )=ReW(j ).

Мнимую частотную характеристику звена V( )=JmW(j ).

Для исследования частотных свойств звеньев и систем удобно использовать графическое представление частотных характеристик. Определение. Годограф W(j ), построенный на комплексной плоскости

(U, jV) при изменении w от 0 до , также называется АФХ звена. Выражение для АФХ имеет свойство: W(-j )=W*(j ), где * - символ комплексно-сопряженного выражения, отсюда U(- )=U( ), V(- )=-V( ).

Поэтому не строят ветвь годографа W(j ), соответствующую отрицательным частотам, т.к. эта ветвь является зеркальным отображением АФХ относительно вещественной оси. Однако в зарубежной литературе широко используют годограф W(j ), построенный для диапазона частот - ≤ ≤ , и называемый диаграммой Найквиста.

Физический смысл АФХ: Она определяет установившуюся (вынужденную) реакцию звена на гармонический входной сигнал. При этом АЧХ R( ) определяет амплитуду, а ФЧХ определяет фазу установившейся реакции на гармонический сигнал с частотой .

Вопрос №52. Устойчивость систем управления с запаздыванием

Во многих системах управления присутствует запаздывание по времени, существенно влияющее на устойчивость. Запаздывание по времени – это промежуток времени между моментом, когда в каком-то месте системы произойдет некоторое событие, и моментом, когда это событие проявит себя в другом месте. Критерий Найквиста обладает тем преимуществом, что он позволяет учесть влияние этого запаздывания на устойчивость системы. Идеальное запаздывание по времени можно охарактеризовать передаточной функцией

W_d(p)=e^-^pτ ,

где τ есть время запаздывания. Критерий Найквиста остается в силе и для систем с запаздыванием, поскольку множитель e^-^pτ не приводит к появлению дополнительных полюсов или нулей в передаточной функции разомкнутой системы. Этот множитель, не влияя на амплитудную характеристику систему, вносит только дополнительный отрицательный фазовый сдвиг.

Рис. 1

Подобное запаздывание свойственно системам, в которых имеет место перемещение материалов, когда между точкой, где произошло како-то изменение переменной, и точкой, где проявляется соответствующий эффект, проходит определенное (конечное) время.

В качестве примера приведем систему управления прокатом стальной полосы, изображенную на рис. 20. Электродвигатель управляет расстоянием между валками таким образом, чтобы минимизировать ошибку в толщине полосы. Если скорость движения полосы равна v, то запаздывание между точкой изменения скорости валков и точкой измерения толщины полосы равно

Р ис.2

Таким образом, для уменьшения запаздывания необходимо уменьшать расстояние от валков до точки измерения толщины полосы. Но, так или иначе, влияние запаздывания полностью исключить невозможно, поэтому передаточную функцию разомкнутой системы управления надо рассматривать в виде

W(p)=W₁ (p)e^–^pτ .

При этом АФХ разомкнутой системы с запаздыванием приобретает видW(jw)=W₁ (jw)e^–^jwt.

Обычно мы исследуем устойчивость замкнутой системы, построив годограф W(jw) на комплексной плоскости и исследуя его положение относительно точки -1. Аналогично, мы можем построить логарифмические частотные характеристики и исследовать их вид в окрестности точки с координатами 0 дБ и -180^о. Множитель e^–^jwtприводит к дополнительному фазовому сдвигу

φ(w) = - wτ, (*)

который должен быть добавлен к фазовому сдвигу, создаваемому функцией

W₁ (jw). (Обратите внимание, что выражение (*) определяет угол в радианах.) Следующий пример иллюстрирует, как просто учесть запаздывание при анализе устойчивости с помощью построения АФХ W(jw) (Рис.21)

Рис. 3

Для разомкнутой системы с запаздыванием, описываемой передаточной функцией W₁(p)e^-^pτ , нужно построить АФХ. Разомкнутая система имеет АФХ W(jw)=W₁(jw) e^–^jwtи, следовательно,

|W₁(jw) e^–^jwt | =| W₁ (jw)| и arg [W₁ (jw) e^–^jwt] =argW₁ (jw) - wτ.

Как видим, АФХ системы с запаздыванием будет отличаться от АФХ системы без запаздывания (разумеется, речь идет о разомкнутых системах) лишь тем, что к argW₁(jw) должен быть добавлен угол – wτ. Этот угол измеряется в радианах и увеличивается с ростом частоты. Результирующая АФХ W(jw) изображена на рис. 4 вместе с годографом для W₁(jw)), который показан пунктирной линией.

Рис.4

Мы видим, что единственный эффект запаздывания состоит в том, что он добавляет в систему отставание по фазе. Разумеется, это ухудшает устойчивость системы, поскольку АФХ поворачивается в сторону точки -1.

В ряде случаев необходимо определить максимально допустимую величину запаздывания τ_кр, при которой замкнутая система еще остается устойчивой. Для этого достаточно найти максимальный угол, на который можно повернуть АФХ W₁(jw) системы без запаздывания (τ=0) и чтобы при этом она (АФХ) не охватила точку -1.

Рис. 5

Этот угол , очевидно, соответствует запасу устойчивости по фазе системы без запаздывания. Отсюда .

Следовательно,

- замкнутая система устойчива,

- замкнутая система неустойчива.

Критерий устойчивости: если АФХ устойчивой разомкнутой системы с запаздыванием не охватывает точку (-1, j0), то замкнутая система с запаздыванием является устойчивой.

Содержание