Обобщенные функции

Обобщенной функцией, заданной на прямой , называется всякий непрерывный функционал T() на основном пространстве K. При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что , если последовательность _n сходится к  в основном пространстве K.

Всякая интегрируемая на любом конечном интервале функция f порождает некоторую обобщенную функцию. Выражение

(1.18)

есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, а все прочие, не представимые в виде ( 1 .18), – сингулярными. В качестве примера служит -функция, определяемая в виде

,

и ставящая в соответствие функции  ее значение в точке x = 0. Это непрерывный линейный функционал на K, то есть обобщенная функция. Этот функционал обычно записывается в виде

,

причем под (x) понимается функция, равная нулю при всех и обращающаяся в точке x = 0 в бесконечность, так что

.

Очевидно, если , то

.

Важно подчеркнуть, что -функция Дирака² есть обобщенная функция, определенная на K.

Еще один пример – смещенная -функция. Пусть

.

Как и в предыдущем случае, этот функционал можно представить в виде

.