Процедура ансамблирования конечных элементов

Рассмотрим композицию из четырех конечных элементов, для каждого из которых запишем свою систему уравнений ( 3 .7):

Q₀ q₂

q₃

q₄

Q₁

В итоге получена система восьми алгебраических уравнений с одиннадцатью неизвестными . Для замыкания системы уравнений следует добавить три дополнительных уравнения теплового баланса

(3.9)

Отметим, что внутренние переменные можно исключить из системы уравнений, складывая уравнения попарно и используя равенства ( 3 .9). Так, для двух первых систем уравнений получаем

Складывая второе и третье уравнения системы, с учетом ( 3 .9) получаем

Выполняя аналогичные преобразования для всех уравнений системы, приходим к системе пяти уравнений относительно пяти неизвестных

В матричной форме эта система уравнений имеет вид

. (3.10)

Рассмотрим неоднородную систему алгебраических уравнений ( 3 .7),

Легко проверить, что ее определитель равен нулю. Точно так же равен нулю определитель системы алгебраических уравнений ( 3 .10). Складывая покомпонентно оба уравнения последней системы, получаем выражение

, (3.11)

являющееся условием баланса тепла в отдельном конечном элементе: количество тепла, выделившееся за счет внутренних источников, должно быть выведено из него за счет тепловых потоков с торцов. Это становится очевидным, если вспомнить, что решается стационарное уравнение теплопроводности, решение которого может рассматриваться как температурное поле, установившееся за бесконечно большой промежуток времени. Невыполнение балансового соотношения ( 3 .11) приведет либо к накоплению тепла в стержне (при ) и, следовательно, к бесконечно высоким температурам, либо к принудительному отводу тепла из стержня (при ) и, соответственно, к бесконечно низким температурам. При точном выполнении соотношения ( 3 .11) стержень будет находиться в состоянии термического равновесия при любых значениях температур. Это означает, что решение оказывается неединственным, то есть исходная задача сформулирована некорректно. Это очевидно из уравнений ( 3 .0) – ( 3 .1), которые определяют решение с точностью до постоянной величины.

Вырожденность системы уравнений на элементарном уровне ( 3 .7) приводит к вырожденности системы алгебраических уравнений ( 3 .10) для всего ансамбля конечных элементов. Легко установить, что и в этом случае суммирование всех уравнений системы ( 3 .10) приводит к балансовому соотношению . Несмотря на некорректность задачи ( 3 .0) – ( 3 .1) рассмотренный порядок построения разрешающих соотношений является верным и используется для нахождения численного решения. Для корректной постановки задачи следует изменить граничные условия. Пусть на левом конце стержня поддерживается постоянная температура . Для учета этого граничного условия к полученной системе ( 3 .10) следует добавить уравнение

(искомый коэффициент T₁, как это уже отмечалось ранее, аппроксимирует значение искомой температуры в этом узле) и считать поток Q₀ на левом конце стержня неизвестным. В этом случае получена система шести уравнений с неизвестными , имеющая ненулевой определитель,

На практике уравнение, содержащее неизвестный поток Q₀, как правило, исключается из системы уравнений,

В дальнейшем, после определения всех узловых температур , исключенное из системы уравнение

может быть использовано для определения теплового потока

.

В матричной форме преобразованная система уравнений имеет вид

.

При решении прикладных инженерных задач на границе рассматриваемой области могут быть заданы условия конвективного теплообмена, когда на правом конце стержня тепловой поток равен

,

где  – коэффициент теплоотдачи с поверхности в окружающую среду с температурой T_ , то есть имеет место граничное условие третьего рода,

.

Для включения этого граничного условия в полученную систему уравнений следует выполнить замену в последнем уравнении, учитывая, что :

,

.

В результате всех преобразований система линейных алгебраических уравнений преобразуется к виду

. (3.11)

Пример 3.1. Решим полученную систему линейных алгебраических уравнений при следующих данных. Пусть длина стального стержня L = 1 м; мощность внутренних тепловых источников W = 100 Вт/м³, коэффициент теплопроводности стали  = 70 Вт/мград, температура окружающей среды , ,  = 30 Вт/м²град. Система уравнений принимает вид

.

Решение этой системы

T₁ = 100, T₂ = 10557/112, T₃ = 619/7, T₄ = 9241/112, T₅ = 153/2

в узловых точках тождественно удовлетворяет точному решению задачи

.

Величина теплового потока на левом конце стержня

Вт/м² .

Используя точное решение задачи, определяем производную

,

и, подставляя x = 0, находим точное значение теплового потока

Вт/м² .