chm_3

Построение фундаментального решения

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение

Собственные функции _n, удовлетворяющие оператору L, определяются соотношением

где _n – собственные значения.

Пример 6.4. Рассмотрим уравнение . Собственными функциями для него являются, например, Действительно,

причем собственные значения

Для того же уравнения имеется другая система собственных функций,

Пример 6.5. Пусть в области задано дифференциальное уравнение

с однородными граничными условиями

Собственными функциями для этого уравнения являются

Подстановка этого выражения в исходное уравнение дает

Вводятся скалярное произведение

и норма

Для построения фундаментального решения уравнения

(6.6)

может применяться следующий конструктивный алгоритм. Пусть имеется замкнутая ортонормированная система собственных функций для линейного дифференциального оператора L. Коэффициенты разложения функции в ряд Фурье по этой системе равны

Это означает, что сама -функция представима в виде

Пример 6.6. Представление функции на отрезке [–,] с помощью ряда Фурье

где коэффициенты a_p, b_p определяются по формулам Эйлера-Фурье

Пусть для определенности x_k = 0, тогда

и -функция представляется разложением

Очевидно, что в точке x = 0 функция обращается в бесконечность,

Интеграл от этого ряда

На рис. 6 .1 показано поведение ряда Фурье для -функции при различных p вблизи точки x = 0.

Рис. 6.1. Ряды Фурье для -функции при различных p (обозначены на рисунках) вблизи точки x = 0

Представим искомое фундаментальное решение _k(x) разложением в ряд Фурье по той же системе функций ,

Подстановка разложения функции _k(x) в силу линейности оператора L приводит к выражению

С учетом этого уравнение ( 6 .6) приводится к виду

В силу независимости собственных функций имеет место

Отсюда следует, что

и фундаментальное решение уравнения ( 6 .6) принимает вид

Содержание