Уравнения движения в переменных «функция тока – вихрь скорости»

Рассматривается система уравнений Навье-Стокса в безразмерной форме [10], описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости,

, (5.3)

, (5.4)

. (5.5)

Здесь обозначено: x, y – координаты произвольной точки рассматриваемой области, t – время, P – давление, – число Рейнольдса, L, V – характерные размер области и скорость течения,  – вязкость жидкости. Для функции тока уравнение несжимаемости

выполняется тождественно. Дифференцирование уравнения ( 5 .3) по переменной y, уравнения ( 5 .4) – по переменной x приводит к выражениям

,

.

Вычитание первого выражения из второго приводит к соотношению

.

С использованием уравнения несжимаемости ( 5 .5) и определения ( 5 .2) функции завихренности  предыдущее соотношение принимает вид дифференциального уравнения

. (5.6)

Подстановка формул ( 5 .1) в выражение ( 5 .2) позволяет получить дифференциальное уравнение относительно функции тока ,

,

. (5.7)

Выполненные преобразования позволили тождественно удовлетворить уравнение несжимаемости ( 5 .5) и исключить из уравнений Навье-Стокса давление P. Решение системы уравнений ( 5 .6) и ( 5 .7) позволяет найти распределения функций  и  , а использование соотношений ( 5 .1) – определить компоненты v_x и v_y вектора скорости.

С другой стороны, дифференцирование уравнения ( 5 .3) по переменной x, а уравнения ( 5 .4) – по переменной y,

,

и сложение полученных выражений с учетом уравнения несжимаемости ( 5 .5) приводит к соотношению

, (5.8)

которое можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно давления P в случае, если распределения компонент v_x и v_y вектора скорости найдены из решения предыдущих уравнений.

Преобразование уравнения несжимаемости ( 5 .5)

,

позволяет преобразовать уравнение ( 5 .8) к виду

,

а с учетом формул ( 5 .1) записать это уравнение в форме

.