Использование иерархических многочленов

Для построения решения задачи ( 3 .0) – ( 3 .1) на конечном элементе вводятся локальные координаты , с помощью которых строятся иерархические многочлены

, , , , , …

Первоначально решение строится в виде

.

Невязка уравнения теплопроводности ( 3 .0), получаемая на этом решении, взвешивается по области поочередно с каждой из функций ₀, ₁ и ₂,

Учитывая, что

,

подсчитываются значения интегралов, входящих в эту систему уравнений,

,

,

.

Подстановка полученных коэффициентов приводит к системе уравнений

В матричной форме эта система уравнений имеет вид

. (3.15)

Теперь рассмотрим вариант аппроксимации решения в виде

.

Взвешенные по области невязки уравнения теплопроводности ( 3 .0) приводят к системе уравнений

Поскольку , можно определить значения интегралов, которые дополнительно входят во вновь сформированную систему уравнений,

, ,

, , .

Подстановка коэффициенты приводит к системе уравнений

которая в матричном представлении имеет вид

. (3.16)

И, наконец, рассмотрим аппроксимацию решения задачи ( 3 .0) в виде

.

Выполнение преобразований, аналогичных показанных выше, приводит в конечном итоге к системе линейных алгебраических уравнений

. (3.17)

Необходимо отметить, что при аппроксимации решения задачи ( 3 .0) – ( 3 .1) с помощью кусочно-линейного ( 3 .3) и кусочно-квадратичного ( 3 .12) приближений соответствующие системы уравнений ( 3 .8) и ( 3 .14) совершенно различны.

Системы уравнений ( 3 .15), ( 3 .16) и ( 3 .17), полученные при аппроксимации решения той же задачи с помощью иерархической системы функций с 3, 4 и 5 слагаемыми, соответственно, отличаются лишь дополнительными строками и столбцами (выделены жирным шрифтом). Иными словами, при использовании иерархической системы функций для повышении порядка аппроксимации решения достаточно лишь расширить систему линейных алгебраических уравнений дополнительными слагаемыми.