logo
chm_3

Функции высших степеней

Для построения квадратичной аппроксимации на отрезке [xi, xj] вводится дополнительный узел xk (рис. 2.6), который, как правило, располагается в его центре. Первая функция конструируется в виде

.

Потребуем, чтобы она удовлетворяла на выбранном отрезке следующим условиям:

,

то есть в своем узле обращалась в 1, а в соседних была бы равна 0. Это требование приводит к системе трех линейных алгебраических уравнений

относительно коэффициентов ,  и . Определители этой системы

, ,

,

позволяют вычислить и построить первую пробную функцию

.

Эта функция удовлетворяет всем предъявляемым требованиям. Аналогичным конструируются пробные функции

, .

Вид этих квадратичных функций, ассоциированных с отрезком [xi, xj], представлен на рис. 2.6. На рис. 2 .6 показаны те же функции, ассоциированные с узлами отрезка.

Рис. 2.5. Квадратичные пробные функции на отрезке [xi, xj]

В общем случае для построения на отрезке [xi, xj] системы базисных функций степени p

следует ввести дополнительно (p – 1) узлов. Коэффициенты , , ...,  могут быть определены из решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений

Вместе с тем целесообразно использовать для определения базисных функций способ, используемый при построении полинома Лагранжа,

.

Очевидно, что в этом случае

Кубические пробные функции, для построения которых внутри отрезка вводятся два дополнительных узла с координатами и , имеют вид

, ,

,

и показаны на рис. 2 .7.

Рис. 2.6. Квадратичные пробные функции, ассоциируемые с узлами отрезка

Пусть на отрезке [xi, xj] задана естественная координата  с началом в центре отрезка,

.

Очевидно, что в пределах этого отрезка естественная координата принимает значения . В этой системе координат пробные функции представляются следующим образом:

– линейные

, ;

– квадратичные

, , ;

– кубические

, ,

, .

Рис. 2.7. Кубические пробные функции на отрезке [xi, xj]