Дифференцирование обобщенных функций

Пусть T – функционал на K, определяемый непрерывной функцией f,

.

Его производной dT/dx называется функционал, определяемый выражением

.

Интегрирование по частям с учетом того, что каждая основная функция  обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, дает выражение

.

Таким образом, получено выражение для производной функционала dT/dx, в котором производная функции f не используется. Отсюда следует, что производной dT/dx обобщенной функции T является функционал, определяемый выражением

.

Поскольку  имеет непрерывные производные любых порядков, то функционал, определяемый этим соотношением, линеен и непрерывен. То есть является обобщенной функцией. Аналогично определяются вторая, третья и прочие производные. Из определения следует, что всякая обобщенная функция имеет производные всех порядков.

Пример 1.1. Пусть f – регулярная (обычная) функция, производная которой существует и непрерывна. Тогда производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле. Действительно,

.

Пример 1.2. Пусть

.

Эта функция Хевисайда определяет линейный функционал

.

В соответствии с введенным определением производной обобщенной функции

,

поскольку  обращается в нуль на бесконечности. Таким образом, производная функции Хевисайда¹ есть -функция.

Пример 1.3. Из примеров 1.1 и 1.2 ясно, что если f – функция, имеющая в точках x₁, x₂, … скачки, равные h₁, h₂, …, и дифференцируема в обычном смысле в остальных точках, то производная от нее как от обобщенной функции представляет собой сумму обычной производной (в тех точках, где она существует) и выражения вида .

Пример 1.4. Определим производную как обобщенную функцию.

.

Таким образом, производная как обобщенной функции равна , где h(x) – функция Хевисайда.