logo
chm_3

Сходимость метода конечных элементов

Рассматривается дифференциальное уравнение

, (1.31)

с граничными условиями

. (1.32)

Коэффициент a(t) считается непрерывно дифференцируемым на [0, 1], а коэффициенты c(t) и y(t) – непрерывными на [0, 1]. Пусть на отрезке [0, 1]

. (1.33)

Обобщенным решением задачи ( 1 .31) – ( 1 .32) называется функция , удовлетворяющая тождеству ( 1 .23) для всех , где в данном случае

,

.

Иными словами, тождество ( 1 .23) получается в результате скалярного умножения в уравнения ( 1 .31) на произвольную функцию и интегрирования по частям. Это позволяет понизить требования гладкости к функции x(t), одновременно повысив требования дифференцируемости функции v(t). В качестве координатной системы в выбирается система функций (рис. 1 .7)

Рис. 1.7. Вид функции i координатной системы

Для задачи ( 1 .31) – ( 1 .32) показано [18], что ее обобщенное решение в действительности принадлежит . Там же получена оценка, показывающая, что для всякой функции при

,

где Pm – проектор в H1(0, 1) на подпространство кусочно-линейных функций, натянутое на . Таким образом, из оценки теоремы 1.1 следует сходимость галеркинских аппроксимаций xm к точному решению задачи.