Иерархические многочлены

Введенные выше пробные функции обладают существенным недостатком. При необходимости аппроксимации заданной функции с использованием пробных функций более высокого порядка приходится полностью перестраивать систему линейных алгебраических уравнений, получаемую из соотношений ( 2 .1). Это видно из сравнения систем уравнений, получаемых при аппроксимации функции x² кусочно-постоянными ( 2 .2) и кусочно-линейными (2.4) пробными функциями. Целесообразно так сконструировать систему пробных функций, чтобы при повышении порядка аппроксимации (за счет добавления функций более высокой степени) новая система алгебраических уравнений вида ( 2 .1) формировалась на основе уже имеющейся системы лишь за счет добавления к ней новых столбцов и строк. Построение такой иерархической системы многочленов для произвольного отрезка [x_i, x_j] начинается с уже известных линейных функций,

, .

Следующая пробная функция строится на основе полинома второй степени,

.

Потребуем, чтобы в своем узле  = 0 (x_c) эта функция была равна 1, а в соседних узлах  = -1 (x_i) и  = 1 (x_j) – нулю, то есть

Решение этой системы уравнений определяет функцию

.

Коэффициенты разложения, стоящие при первых трех функциях, будут сохранять свой геометрический смысл, аппроксимируя значения исходной функции в точках x_i, x_j и x_c, соответственно. Для четвертой функции используется кубический полином,

,

коэффициенты которого определяются решением системы уравнений

Отсюда следует, что четвертая функция имеет вид

.

Аналогично строится пробная функция

,

и так далее. Вид пробных функций этой системы показан на рис. 2 .8, а. На рис. 2 .8, б показан вид пробных функций еще одной иерархической системы,

; ; для всех k > 2

Дифференцируя функции этой системы, получаем для четных номеров

,

для нечетных

.

Далее, как для четных, так и для нечетных номеров, .

Рис. 2.8. Примеры иерархических систем пробных функций на отрезке [x_i, x_j]

Это означает, что

то есть все производные, кроме одной, обращаются в нуль при  = 0. Далее, для разложения ( 2 .0) получаем

.

Следовательно, при q > 2 коэффициент a_q аппроксимирует значение производной q-го порядка от исходной функции в точке  = 0.

В прикладных задачах математической физики при использовании методов взвешенных невязок часто встречаются интегралы вида

.

В этом случае удобно пользоваться полиномами Лежандра¹

, , , ,

, , …,

для которых

.

Использование этих полиномов позволяет упростить формирование и решение системы алгебраических уравнений. Вид полиномов Лежандра приведен на рис. 2 .9.

Рис. 2.9. Система полиномов Лежандра на отрезке [x_i, x_j]