Плоско-напряженное состояние

В плоско-напряженном состоянии находятся тела, имеющие пренебрежимо малый размер в одном из направлений: пластины, оболочки, мембраны и тому подобные. В этом случае напряженное состояние в указанном направлении (на рис. 4 .4 – вдоль оси z) практически не изменяется по толщине (при равных давлениях с внешних сторон напряжение _zz по модулю равно этому давлению).

y

Рис. 4.4. Расчетная схема плоско-напряженного состояния

O x

z

Если поверхности пластины (оболочки) свободны от нагрузки, то можно полагать . Принимается, что в плоскостях Oxz и Oyz сдвиговые деформации отсутствуют, то есть . Обратимся к соотношениям закона Гука ( 4 .14) для установления связи между компонентами тензоров напряжения и деформации при плоско-напряженном состоянии. Из условия

легко вычисляется компонента _zz тензора деформации,

.

Это означает, что из шести компонент тензора деформации независимыми являются лишь три, _xx, _yy и _xy.

Кроме того,

.

С учетом этого оставшиеся три компоненты тензора напряжений определяются выражениями

,

, .

Полученные выражения позволяют установить связь векторов напряжения и деформации в виде ( 4 .15), где

.

Система уравнений относительно коэффициентов разложения решения в ряд по пробным функциям соответствует выражению ( 4 .18) с матрицами [B_k], [_k], {F} и {F}, определенными ранее.