Функции двух переменных Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация

Пусть вершины простейшего треугольного конечного элемента с вершинами i, j и k на плоскости имеют координаты {x_i, y_i}, {x_j, y_j}, {x_k, y_k} (рис. 2 .10). Для такого конечного элемента можно построить три пробные функции _i(x, y), _j(x, y) и _k(x, y). Рассмотрим процедуру построения кусочно-линейной пробной функции, определенной на этом элементе, в виде

.

Удобно для практических приложений сконструировать эту функцию таким образом, чтобы в своем узле эта функция была равна 1, а в двух других обращалась в 0. Это будет означать, что коэффициенты разложения какой-либо функции f(x, y) по этой системе функций _i(x, y), _j(x, y) и _k(x, y), будут аппроксимировать значение f(x, y) в соответствующих узлах, как это было в предыдущем случае. Система уравнений относительно коэффициентов _i, _i и _i имеет вид

y

Рис. 2.10. Кусочно-линейная пробная функция _i на двумерном конечном элементе

i

j

x

Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений равны

,

, , .

Главный определитель  этой системы численно равен удвоенной площади рассматриваемого треугольного конечного элемента. Следует отметить, что лишь в том случае, когда нумерация вершин треугольника производится в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Искомые коэффициенты равны

.

Таким же способом строятся еще две пробные функции, _j и _k, обладающие аналогичными свойствами,

;

,

.