Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения

Основные понятия и определения вводятся в соответствии с [18].

Последовательность называется фундаментальной, если такой, что и любых натуральных p выполняется неравенство .

Нормированное пространство X вложено в нормированное пространство , если всюду на X задана линейная функция J(x), причем существует постоянная  > 0 такая, что .

Прямой суммой двух линейных пространств Z = X + Y и называется совокупность пар z = (x, y), для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если z₁ = (x₁, y₁), а z₂ = (x₂, y₂) и ₁, ₂ – скаляры, то .

Линейное многообразие L, лежащее в нормированном пространстве E , называется плотным в E, если найдется элемент такой, что .

Нормированное пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Пусть X – банахово пространство, а R – вещественная ось, – банахово пространство линейных ограниченных функционалов, заданных на X. Это пространство называется сопряженным к X и обозначается . Значение линейного функционала на обозначается .

Пусть . Последовательность называется слабо сходящейся к элементу , если . Если слабо, то x называется слабым пределом . В отличие от слабо сходящихся, последовательности, сходящиеся по норме пространства X называются сильно сходящимися.

Множество M банахова пространства X называется слабо компактным, если из любой (бесконечной) последовательности его элементов можно выбрать слабо фундаментальную (в смысле слабой сходимости) последовательность.

Нормированное пространство X называется сепарабельным, если в нем существует счетное, плотное в X множество.

Пространство H со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в смысле сходимости по норме, порожденной скалярным произведением.

Пусть в гильбертовом пространстве H задано подпространство M. Согласно теореме Рисса¹ каждому можно поставить в соответствие единственный элемент – ортогональную проекцию x на M. Тем самым в H определен оператор ортогонального проектирования (для краткости – проектор) .

Пространство состоит из всевозможных функций u(x), непрерывно дифференцируемых на [a, b], со скалярным произведением

и нормой, соответствующей этому скалярному произведению,

.

является пополнением в этой норме. Элементами являются классы, состоящие из последовательностей , фундаментальных в в среднем, то есть таких, что

.

Из условия фундаментальности в среднем в следует, что по отдельности

, .

Согласно определению [18] пространства существуют функции и такие, что

в среднем. Пусть , тогда в определены элемент u(x) с представителем и элемент w(x) с представителем . Элемент w(x) называется обобщенной производной (в смысле Соболева) от u(x).

Пространство является пополнением в метрике линейного пространства непрерывно дифференцируемых функций, принимающих на границе значения, равные нулю. является гильбертовым пространством со скалярным произведением .