Функции трех переменных

Для решения пространственных задач приходится строить пробные функции трех координатных переменных x, y и z. В простейшем случае конечный элемент представляет собой тетраэдр с четырьмя уздами i, j, k и n (рис. 2 .14), пробная функция, например _i, имеет вид

.

x_k, y_k, z_k

z

Рис. 2.14. Тетраэдральный конечный элемент для аппроксимации пространственных тел

y

x_j, y_j, z_j

x_i, y_i, z_i

x

Коэффициенты _i, _i, _i и _i, как и в предыдущих случаях, определяются из системы уравнений

Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений равны

, , ,

, .

Искомые коэффициенты определяются выражениями

.

Следует отметить, что с помощью конечных элементов в виде тетраэдров могут быть представлены области в виде параллелепипедов (рис. 2 .15).

а б

Рис. 2.15. Представление параллелепипеда (а) с помощью набора тетраэдров (б)

x_s, y_s, z_s x_r, y_r, z_r

z x_p, y_p, z_p x_q,y_q,z_q

Рис. 2.16. Конечный элемент в виде параллелепипеда со сторонами, параллельными координатным осям

h_z

x_n, y_n, z_n x_k, y_k, z_k

y h_x h_y

x_i, y_i, z_i x_j, y_j, z_j

x

В случае (рис. 2 .16), когда конечный элемент является параллелепипедом со сторонами, параллельными координатным осям (h_x, h_y и h_z – размеры сторон параллелепипеда), пробные функции определяются выражениями

,

,

,

,

,

,

,

.