Кусочно-линейные функции

Набор кусочно-линейных функций представлен на рис. 2 .2. Если все узлы отрезка [0, 1] перенумеровать, каждая функция будет ассоциироваться с i-м узлом, соответствующим ее номеру. В своем узле значение _i равно 1, а в соседних эта функция обращается в 0, изменяясь линейно вдоль прилежащих к этому узлу интервалов. Во всей остальной области пробная функция _i тождественно равна 0.

Как и в предыдущем случае, представим заданную функцию в виде разложения ( 2 .0) при m = 5, где

В соответствии с выражением ( 2 .1) определяются значения интегралов,

, ,

, .

Рис. 2.2. Пробные кусочно-линейные функции

Вычисление остальных интегралов и подстановка полученных значений в выражение ( 2 .1) приводит к системе пяти линейных алгебраических уравнений относительно ,

(2.4)

Решением этой системы уравнений являются коэффициенты разложения

.

Нетрудно проверить, что найденные коэффициенты можно рассматривать в качестве приближенных значений аппроксимируемой функции в узлах сеточной области (рис. 2 .3).

Рис. 2.3. Аппроксимация зависимости (сплошная линия)

кусочно-линейными пробными функциями (–о–)

Из приведенных примеров следует, что при кусочно-постоянных функциях с каждым конечным интервалом [x_i, x_j] связана одна базисная функция _i(x) (рис. 2 .4, а), при кусочно-линейной аппроксимации с тем же интервалом ассоциируются две функции (рис. 2 .4, б),

и ,

где h = x_j – x_i – длина соответствующего интервала.

(x) _i(x) _j(x)

x_i x_j x_i x_j

а б

Рис. 2.4. Кусочно-постоянные (а) и кусочно-линейные (б) базисные функции, ассоциируемые с конечным отрезком [x_i, x_j]

Для второго примера ясен геометрический смысл коэффициентов разложения ( 2 .0) в ряд по базисным функциям

,

то есть коэффициент a_i аппроксимирует значение заданной функции в узле x_i разностной сетки. Этот факт широко используется в различных реализациях метода конечных элементов. Рассмотренный способ аппроксимации функций может быть продолжен для получения базисных функций более высоких порядков.