Кусочно-постоянные функции

Для определенности рассмотрим аппроксимацию функции на отрезке G = [0, 1]. Представим этот отрезок объединением , где , . На каждом из этих интервалов (рис. 2 .0) определим кусочно-постоянные пробные функции

Рис. 2.0. Пробные кусочно-постоянные функции

Представим заданную функцию f(x) в виде разложения

, (2.0)

причем в рассматриваемом случае, очевидно, m = 4. Взвесим погрешность

представления функции в области G, используя в качестве взвешивающих те же самые функции _k,

.

Потребуем равенства нулю всех взвешенных на рассматриваемом отрезке погрешностей,

. (2.1)

Эти равенства представляют собой систему четырех линейных алгебраических уравнений относительно четырех искомых коэффициентов разложения ( 2 .0). В соответствии с выражением ( 2 .1) подсчитаем значения интегралов

, ,

.

Аналогично вычисляются остальные интегралы. Подстановка их значений в выражение ( 2 .1) приводит к системе четырех линейных алгебраических уравнений

(2.2)

Искомые коэффициенты разложения равны

Аппроксимация функции на отрезке [0, 1] с помощью представления ( 2 .0) показана на рис. 2 .1.

Рис. 2.1. Аппроксимация зависимости кусочно-постоянными пробными функциями