Метод граничных элементов

Вернемся к уравнению Пуассона ( 1 .0) с граничными условиями ( 1 .1) и ( 1 .2). Его решение u_m, как и ранее, разыскивается в виде ( 1 .3). Обратная формулировка этой задачи ( 1 .9)

получена взвешиванием невязок уравнения ( 1 .0) и граничных условий ( 1 .1), ( 1 .2) по всей области  и границам _Q и _U, соответственно. Если все взвешивающие функции _k удовлетворяют уравнению Лапласа

, (6.0)

из предыдущего выражения следует соотношение ( 1 .10) для значений искомой функции u_m и ее производной на границах _Q и _U,

.

Пример 6.1 (из книги [2]). Рассматривается дифференциальное уравнение

с граничными условиями .

С помощью функции w взвешиваются невязки дифференциального уравнения, получаемые на приближенном решении , удовлетворяющем заданным граничным условиям:

.

Первое слагаемое под знаком интеграла преобразуется по частям,

.

Здесь учтено, что в силу заданных граничных условий

, .

Подстановка полученного соотношения в интегральное уравнение приводит к выражению

.

Пусть пробная взвешивающая функция w удовлетворяет уравнению

,

тогда интегральное выражение преобразуется к более простому виду

.

Это соотношение является линейным алгебраическим уравнением относительно значений и (на левом конце задано значение функции u, на правом конце – значение производной ).

Решением дифференциального уравнения является функция

,

где А и В – константы интегрирования. Подстановка этой функции приводит к выражению

.

В силу независимости коэффициентов А и В приходим к системе двух алгебраических уравнений относительно искомых значений и ,

Поскольку

, ,

решением задачи являются значения

.

В результате получены значения искомой функции и ее производной на концах рассматриваемого отрезка без непосредственного решения исходного дифференциального уравнения.